第二篇最优控制理论习题答案.pdf

第二篇最优控制理论习题答案： 1 2-1 、求通过 x(0)=1 ，x(1)=2 ，并使性能指标 2 为最小的曲线 x(t) 。 J ∫(x =+1)dt 0 解：本题属于无约束(无状态方程约束)，始端和终端均固定的泛函极值问题，可用变分法求解。 2 ∂L ∂L d ∂L 被积函数 L x =+1, 0, 2x , ⋅ 2x ∂x ∂x dt ∂x ∂L d ∂L 代入欧拉方程 − ⋅ 0 , 得2x 0 , 即x 0 ∂x dt ∂x x c , x c t =+c (通解形式) 1 1 2 ⎧ x (0) c2 1 ⎧c1 1 由边界条件 ⎨ , 解之，得⎨ x (1) c =+c 2 c 1 ⎩ 1 2 ⎩2 * 故最优轨线为 x (t) t +1 1 1 2 2 2-2 、求一阶系统x (t ) u (t ), x (0) 1 ，当性能指标为J 2 ∫(x =+u )dt 取最小值时的最优控 0 制与最优轨线。   解：本题属于有约束，始端固定；终端时间tf 固定，x (tf ) 自由，控制u 无限制的泛函极值问题， 可用变分法求解。 1 2 2 1 2 2 构造哈密顿函数 H (x u ) u L (x u ) =+ +λ 注： =+ 2 2 ∂H 协态方程 λ=− =−x , 即x =−λ ① ∂x ∂H 极值条件/控制方程 u =+λ 0 , 即u −λ ② ∂u