拉格朗日第二类方程讲解.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * 　 二、循环积分 如果保守系统的拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qj , 则该坐标称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。 当qj( j≤k ) 为系统的循环坐标时，必有 于是拉氏方程成为 或： 循环积分 (6.3.15) * 　 定义：广义动量 因L = T - V，而V中不显含 ，即 因此循环积分表示广义动量守恒。注意，广义动量表示动量或动量矩。 一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。 能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。 * 　 例如：自由质点，f=k=3。q1=x， q2=y，q3=z 。 （由理论力学知，质点在有心力作用下的轨迹为平面曲线） 又例如：万有引力场中的质点的运动： f=k=2。q1=r， q2=j。 x、y为循环坐标。 动量守恒 * 　 解：（1）研究对象：小环 f=k=1，q= q 例：半径R的大圆环在水平面内以匀w绕O转动，质量为m的小环在其上无摩擦地滑动，求小环运动微分方程的第一积分。 j为循环坐标。 动量矩守恒 （2）小环坐标： 以上两例均有能量积分。 * 　 V=0（水平面） (4)计算L (3)小环的约束方程 ——非定常约束（方程中显含t） T2 T1 T0 * 　 (5)L中不显含t，有广义能量积分（非定常约束）： T2－T0 +V =h * 　 [例] 楔形体重P，斜面倾角?，置于光滑水平面上。均质圆柱体重Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的首次积分。 解：研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、定常约束，具有两个自由度。取广义坐标为x, s ；各坐标原点均在初始位置。 * 系统的动能： 系统的势能： 取水平面为重力势能零点。 拉格朗日函数： * 　 由保守系统拉氏方程： （d） 解得楔形体的加速度为 拉格朗日函数L中不显含 t ，故系统存在能量积分。 将L代入并适当化简，得到系统的运动微分方程。 * 　 当t =0时， ，x = s = 0 , 代入上式中，得 * 　 由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故 x 为系统循环坐标，故有循环积分： t = 0时 ，故上式中C2 = 0 ，可得 （f )， ( g ) 式即为系统的能量积分和循环积分。 ( f ) 式实际上是系统的机械能守恒方程。 ( g )式实质上是系统的动量在x方向守恒。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第三篇 完整系统动力学 自由度f = 广义坐标数k * 　 应用动力学普遍方程求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格朗日方程。 拉格朗日第二类方程是研究动力学问题的又一有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。 第六章 拉格朗日第二类方程 * 　 质点系：n个质点，受d个完整约束，取k=3n-d个广义坐标：q1，...， qk ，系统的位形： 6.1 动能的广义坐标表达式 于是： 系统的动能： 其中 都是qj和t的函数 * 　 * 　 显然，ajm、bj、c都是都是qj和t的函数 令 再令 则系统的动能： T=T2+ T1 + T0 (6.1.5) 式中T2、T1 、T0 分别是广义速度的二次、一次、零次齐次函数 * 　 对定常系统， 中不显含时间t，即