拉格朗日方程讲解.ppt

* 动力学的基本方法 牛顿定律 动量定理 动量矩定理 动能定理 达朗贝尔原理//动静法 虚位移原理 动力学普遍方程 * 设：质点系中第i个质点的质量为 ;作用在其上的主动力 ; 约束力 . 质点的惯性力为 应用达朗贝尔原理： 第一节 动力学普遍方程 应用虚位移原理： 若质点系所受的 约束为理想约束 动力学普遍方程 其中： * A B C 例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为R，绳索与圆盘无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘C的角加速度。 A B C 解：运动分析 应用动力学普遍方程 受力分析 * * A B C 系统的虚位移 A B C 由动力学普遍方程得： * 动力学普遍方程 拉格朗日方程 写成广义坐标虚位移形式 猜想： 与运动有关， 可否表示成动能的某种形式？ 是动力学普遍方程的广义坐标形式 * 第二节 拉格朗日方程 设：具有完整约束的非自由质点系有 k 个自由度 系统的广义坐标为： 由n个质点组成的完整、理想约束质点系， 有k个自由度，则第i质点的虚位移： 1、将虚位移变为广义坐标形式 * 虚位移： 由广义坐标的独立性， 2、将动力学普遍方程变为广义坐标形式 动力学普遍方程： (1)代入(2)中： 展开： 其中： 广义惯性力可否表示成动能的形式？ 广义惯性力 * 广义惯性力： 3、将广义惯性力表示动能的形式 (3)式对广义速度求偏导数： 因： 即： 广义速度 则： 由(3) 由上两式比较可得： * 广义惯性力： (5、6)代入(4) 由： 拉格朗日方程(第二类) 4、得到拉格朗日方程 * 例：建立质量为m的质点在重力作用下的动力学方程。 1、系统的自由度为k=3 2、系统的广义坐标： 3、系统的动能 解： 4、系统的广义力 5、代入拉格朗日方程 * 第二类拉格朗日方程 几种形式 1、当主动力均为有势力时 设：L＝T-V （拉格朗日函数） 2、当主动力部分为有势力时 * 解：1、确定系统的自由度和广义坐标 2、求系统的动能和势 能 ( 拉格朗日函数 ) 3、求非有势主动力的广义力 例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。弹簧原长时杆竖直。求系统运动微分方程。AB＝2L 解：取广义坐标为x、q 以x＝0、q＝0处为零势能位置 * 拉格朗日方程为2阶k维常微分方程组 * 例、均质滑轮质量m1，半径R，物体A质量m2，弹簧的弹性系数为k，静平衡位置j＝0。绳与轮之间无相对滑动。写出系统的拉格朗日函数L。 解： 自由度： 广义坐标： 动能： 势能： 以静平衡位置为零势能位置 拉格朗日函数： * 例、半径r，质量m1的匀质圆柱体在重力作用下沿三棱体A无滑动滚下，三棱体在光滑水平面上滑动。三棱体质量m2，求三棱体加速度及圆柱质心O相对三棱体加速度。 解：自由度数： 广义坐标： 主动力为有势力， 选取零势能位置： 系统动能： 系统势能： 拉格朗日函数： S＝0位置 * 求偏导数： 代入拉格朗日方程： 解得加速度： * 对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k， 则系统的动力学方程为： 其中： T：为系统的动能，V：为系统的势能 ：为对应于广义坐标 的非有势力的广义力