代数选讲-西北师范大学.doc
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西北师范大学数学与应用数学专业
专业选修课程教学大纲
代数选讲
一、说明
（一）课程性质
代数选讲课程是高等代数内容的系统提高限选课程，是在学生已经初步了解高等代数课内容的基础上，以高等代数中的典型问题和方法为主线，作进一步深入讨论。
（二）教学目的
通过相应的讲授及训练，旨在拓宽基础，加深理解，使学生能够理解基本概念，掌握主要的基本结论，掌握高等代数的基本方法之运用。
（三）教学内容
主要讲授线性代数的“解析理论”，包括矩阵的六大基本方法的运用，矩阵的满秩分解，矩阵的各种标准形；线性代数的“几何理论”，常用的基本方法及运用。
（四）教学时数
50学时
（五）教学方式
课堂讲授
二、本文
第一章 矩 阵
教学要点：
简述矩阵理论中的六大基本方法，并介绍其中的降阶与升阶的方法，运用标准单位向量的方法；介绍分块矩阵的初等变换及其应用。要求学生掌握这些方法，并能初步运用这些方法解决相应的矩阵问题。
教学时数：
[8学时]
教学内容：
第一节 基本概念与基本结论（2学时）
[具体内容] 矩阵、分块矩阵、矩阵的运算、矩阵的逆、矩阵的秩及矩阵的初等变换
第二节 可逆矩阵及逆矩阵（2学时）
[具体内容] 运用分块矩阵的初等变换求可逆矩阵的逆矩阵；运用“和化积”方法求可逆矩阵的逆矩阵
第三节 矩阵理论中的六大基本方法 （学时）
[] 简述矩阵理论的六大基本方法：矩阵分块的方法；初等变换的方法；降阶与升阶的方法；运用标准单位向量的方法；运用特征值的方法；运用矩阵标准形的方法。
介绍降阶与升阶的方法。
介绍运用标准单位向量的方法。
考核要求：
能够运用分块矩阵的初等变换及降阶的方法求矩阵的逆；运用单位向量的方法求解齐次线性方程组。
第二章 矩阵的秩及其应用
教学要点：
本章主要介绍矩阵的秩与线性方程组的解空间的关系，以及有关矩阵秩的几个结果：行（列）满秩矩阵的性质，秩的降阶定理，满秩分解定理。要求学生掌握这些内容，并能初步应用这些定理解决相应的矩阵求秩的问题。
教学时数：
[12学时]
教学内容：
第一节 矩阵的秩与线性方程组的解（4学时）
[具体内容] 介绍矩阵的秩与线性方程组的解空间的关系，两个矩阵的和、积的秩的公式及应用。
第二节 行满秩矩阵与列满秩矩阵（2学时）
[具体内容] 介绍行满秩矩阵及列满秩矩阵的定义、性质。
第三节 秩的降阶定理 （2学时）
[] 介绍行列式及矩阵的第一、第二降阶定理及应用。
满秩分解 （学时）
[] 介绍矩阵的满秩分解定理及应用。
考核要求：
能应用这些知识解决一般的与矩阵的秩有关的问题。
第三章 方阵的特征值与方阵的相似
教学要点：
本章主要介绍特征多项式的降阶定理，Hamilton-Cayley定理，矩阵对角化的充要条件，实对称矩阵正交相似的标准形。要求学生理解掌握这些知识，并能应用它们解决有关求矩阵特征值及化简矩阵的问题。
教学时数：
[10学时]
教学内容：
第一节 基本概念与基本结论（2学时）
[具体内容] 关于矩阵的特征值、特征多项式、相似、最小多项式的概念及性质。
第二节 特征多项式的降阶定理（4学时）
[具体内容] 介绍特征多项式的降阶定理及其应用。
方阵的相似 （4学时）
[] 介绍方阵与对角形矩阵相似的定理，Hamilton-Cayley定理的应用，若当标准形，实对称矩阵正交相似的标准形，许尔定理。
考核要求：
领会Hamilton-Cayley定理及若当标准形，并能运用特征多项式的降阶定理及（实对称）矩阵（正交）相似的定理解决某些矩阵对角化问题。
第四章 方阵的合同与二次型
教学要点：
本章主要介绍二次型的标准形问题及正定、半正定二次型的应用。要求学生掌握化二次型为标准形的方法，掌握判定实二次型为正定二次型的等价命题及初步应用。
教学时数：
[10学时]
教学内容：
第一节 基本概念及基本结论（2学时）
[具体内容] 关于二次型的定义、二次型的矩阵及秩、二次型的标准形、矩阵的合同、惯性指数及符号差等概念及其主要结论；化二次型为标准形的方法。
第二节 正定二次型与正定矩阵（4学时）
[具体内容] 介绍矩阵的QR分解及判定实二次型正定、半正定的等价命题。
第三节 正定二次型的应用 （学时）
[] 两
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