年中考二次函数试题专题汇编.doc

2013河北省24,9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5~50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据， 薄板的边长（cm） 20 30 出厂价（元/张） 50 70 （1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式； （2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-成本价）。 ①求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式。 ②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？ （2013滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点． （1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式； （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值． （2013遵义如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）． （1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标； （2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB； （3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由． 解析： （1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，﹣）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标． （2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点P的横坐标； （3）先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标． 答案： 解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0）， 又∵函数的顶点坐标为（3，﹣）， ∴， 解得：， 故函数解析式为：y=x2﹣x， 由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）； （2）∵S△POA=2S△AOB， ∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2， 代入函数解析式得：2=x2﹣x， 解得：x1=3+，x2=3﹣， 即可得满足条件的有两个，P1（3+，2），P2（3﹣，2）． （3）存在． 过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP==， 故可得∠BOA=60°， 设Q1坐标为（x，x2﹣x），过点Q1作Q1F⊥x轴， ∵△OAB∽△OQ1A， ∴∠Q1OA=30°， 故可得OF=Q1F，即x=（x2﹣x）， 解得：x=9或x=0（舍去）， 即可得Q1坐标为（9，3）， 根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3）． 点评： 此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强． (a0)与双曲线相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（–2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E。 （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC与△ABE的面积； （3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍。若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。 【解析】 【答案】A（–2，2）在双曲线上 ∴k= –4 ∴双曲线的解析式为 ∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍 ∴可设B点坐标为（m,–4m）（M0）代入双曲线解析式得m=1 ∴抛物线过点A（–2，2）、B（1，–4）、O（0，0） ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y= –x2–3x （2）∵抛物线的解析式为y= –x2–3x ∴顶点E，对称轴为x= ∵B（1，–4） ∴–x2–3x=–4 解得x1=1,x2= –4 ∴C（–4，–4） ∴S△ABC=5×6×=15 由A、B两点坐标为（–2，2），（1，–4）可求得直线AB的解析式为：y= –2x–2 设抛物线对称轴与AB交于点F，则F点坐标为（–，1） ∴EF= ∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3= （3）∵S△ABE= ∴8 S△ABE=15 ∴当点D与点C重合时，显然满足条件。 当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y= –2x–12 令–2x–12=–x2–3x 解得x1=3,x2= –4(舍) 当