用最小=乘法处理回归问题.pdf

第 26卷第 5期 唐 山师 范学 院学报 2004年 9月 )i．26No．5 JournalofTangshanTeachersCollege Sep．2004 用最小=乘法处理回归问题 张 彬，曹福军 (唐山师范学院 物理系，河北 唐山 063000) 摘 要：由测量数据求得经验方程或提取参数称为回归问题，用最小二乘法线性拟合是处理回归问题的一种 常用方法。 关键词：最小二乘法；回归；拟合；标准偏差 中图分类号：O241．5 文献标识码：A 文章编号：1009．9115(2004)05．0028-03 由测量数据求得经验方程或提取参数，称为回 n 如果∑vJ2的值小，那么标准偏差s就小，能 归问题，是实验数据处理的重要内容。用图解法处 i=1 理回归问题虽有许多优点，但因为它不是建立在严 够使 s 最小的直线就是我们所要拟合的直线。由 格的统计理论基础上的数据处理方法，在连线时有一 n (2)式可见， 和bt决定v的大小，能够使 Zv 定的主观随意性，结果会因人而异，它只是一种粗略 ／=1 的数据处理方法；用逐差法求多项式的系数也是一种 为最小值的 和b，的值就是回归方程的系数。 回归方法，但它受到自变量必须等间距变化的限制。 本文介绍一种处理回归问题的方法一 最小二乘法。 1 问题的提出 假设所研究的两个变量X和Y之间存在着线性 相关的关系，回归方程为一条直线 y=bo+btx (1) 由实验测得的一组数据是xi，Y (i=1，2…．，n)， 现在要解决的问题是：怎样根据这组数据来确定(1) 式中的系数bD和b，。 图 1 残差示意图 我们讨论最简单的情况，假设：(1)系统误差 3 用最小二乘法原理求回归方程的系数 已经修正，即每个测量值都是等精度的：(2)n次 使 (3)式中s 为极小值的条件疋 Os = 。， 测量值的条件相同，所 以误差符合正态分布，这样 才可以使用最小二乘法原理；(3)如果 X、Yi都有 误差，只要把误差较小的作为变量 X，使不确定度 ：0， 0’票00，’票00。。(33)‘式式中中 是是测测 的计算变得简单即可。 2 解决问题的途径——最小二乘法原理 量值，变量是 和 b，，分别对 bD和 b，求偏导数 由于测量的分散性，实验点不可能都落在一条 ÷Dn(∑v)一2E(y．bo． )=0 (4) 直线上。对于我们所拟合的直线，和某一个置相对 i=1 i=1 应的Yi与直线在Y方 向上的残差为 (∑v)一2E(y ．bo． )