概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布函数.pptx

随机变量及其分布 Chapter 2 Random variable and Distribution 目录 CONTENTS 随机变量及其分布 2.1 2.2 2.3 2.4 常用的连续型随机变量 常用的离散型随机变量 随机变量函数的分布 §2.1 随机变量及其分布函数 Random variable and distribution E4：在土地里种下一粒种子。 E1：记录一个路口在一段时间内经过的车辆数 Ω1={0，1，2，3，……} E2：扔一个骰子，出现的点数 Ω2={1，2，3，4，5，6} Ω4={发芽，不发芽} E5：在工厂生产的零件中任取一件。 Ω5={正品，次品} E3：检验灯泡的寿命 Ω3={t|t≥0} 随机试验的结果虽然不是数量，但是可以将它数量化！ 引例: §2.1 随机变量及其分布函数 E4：在土地里种下一粒种子。 Ω4={发芽，不发芽} E5：在工厂生产的零件中任取一件。 Ω5={正品，次品} 随机试验的结果虽然不是数量，但是可以将它数量化！ 由于试验的结果是随机的，因而 X=X(ω)的取值也是随机的，所以将X=X(ω)称为随机变量！ 在样本空间上定义一个集合函数 一、随机变量 Random variable 例如：设 X={某路口在一段时间内通过的车辆数} A = {通过的车辆数不超过 4} B = {通过至少 6 辆车} 设 X={取到次品的件数} = {至多取到 2件次品}= A = {恰好取到 2 件次品}= B 今后，我们用随机变量的取值和取值范围来表示随机事件！ 为随机变量,记为 R.V.X.(random variable X)。 二、分布函数 Distribution function ②取值或取值范围的概率？ 例如：将一枚硬币连抛三次，观察正反面向上的情况。 设 X={正面向上的次数} 二、分布函数 Distribution function 对于任意区间（a，b] 二、分布函数 Distribution function 定义2 设X为随机变量,x为任意实数,函数 为随机变量X的分布函数(distribution function)。 分布函数F(x)是随机事件{X≤x}的概率,它是一个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量. 随机点 实数点 二、分布函数 Distribution function 分布函数 利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质: 1、0≤F(x)≤1; 2、F(x) 在其间断点处是右连续. 3、F(-∞)=0, F(+∞)=1 4、F(x)是单调不减函数,即对任意实数x1,x2(x1x2), 有F(x1)≤ F(x2) ; 图像值域范围 图像左右趋势 间断点右连续(离散型) 图像自左至右呈上升 利用分布函数计算事件概率 【例1】设随机变量X的分布函数为 试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。 〖解〗（1）由 解得： 于是，分布函数为： （2）由分布函数计算事件概率公式得： 解：已知分布函数为： 【例1】设随机变量X的分布函数为 试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。 【例2】设随机变量X的分布函数为 求: 常数 a 和 b。 解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续 故 §2.1 离散型随机变量 Discrete random variable 一、概念 定义2 称为离散型随机变量 X 的概率分布(分布律或分布列). Discrete Distribution 数列: 分布列的表示方法: 表格: 概率分布图： [非负性] [规范性]用于确定待定参数 随机点 实数点 Nonnegativity Normalization Additivity 注 意 Attention 对离散随机变量的分布函数 distribution function 应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值. 【例1】给定离散型R.V.X的分布列如下： 解： 所以有： 解： 综上所述： 因为 X的可能取值中没有1， 解： §2.2 常用离散型随机变量的分布 1、两点分布 或（0 - 1）分布 定义1 设离散型随机变量X的分布列为 则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布 （0 - 1）分布的分布函数 其中 0p1 two-point distribution 显然，贝努利试验服从