常微分方程（数学学院）授课笔记, 冬学期wk2 1. 上次第四章，线性微分 ....pdf

常常常微微微分分分方方方程程程 （（（数数数学学学学学学院院院）））授授授课课课笔笔笔记记记甬 冬冬冬学学学期期期畗畋甲 王成波 由甮 上次 第四章 ，线性微分方程组 ：一般理论 ，存在唯一性 ，解的结构定理 甲甮 补充 补充由町 解的延拓定理甫上下解 定定定理理理 由甮 设设设 用 甩是 区域 甽 用 甩 町 甫内的连续 函数 用 甩 记畛 甩为初值 问题解的右行最大存在 区间 用由甩 若初值 问题有右行上解甈用甩 以及右行下解用甩 且它们的公共右行区间为畛 甩则 证明甮 用由甩 田甬 考虑右行区域 甽 用 甩 用用甩 甈用甩甩 畛 甩 ，由第一比较定理 ，解 曲线不与 上下边界相交甮 由延拓定理 ，向右延拓至区域 边界甮 于是 甮 用由甩更加明确的，用反证法甮 假设不然 ，则 ，则在 区间畛 畝上 ， 甈都有界 ，于是在 区间畛 甩上有 界甮 取定 田使得在 区间用 畝上 ， 甈都有定义甮 考虑区域 甽 用 甩 用用甩 甲 甈用甩 甫 甲甩 用 用 甫 甩甲甩甬 由延拓定理甬 这时必然有畬畩畭 畩畮畦 用用 用甩甩 甩 甽 田甮 但是 由的定义 ，用用 用甩甩 甩 畭畩畮用 甲 用 甩甲甩 （与左右边界 ，上下边界的距离）甮 矛盾甮 补充甲町 含参变量积分的导数 用 甩甮 若 甬 则 ， 用 甩 甽 用 用甩甩 用甩 用 用甩甩 用甩 甫 用 甩 畗界畏畇甬 用甩 甽 常数函数甮 定义 出发 用 甫 甁 甩 用 甩 甽 用 甩甁 甫 用甁甩甬 甁 甽 用 甫 甁甩 用甩 甽 用甩甁 甫 用甁甩甬 用 甫 甁 甩 用 甩 甽 用 甫 甁 甩 甫 用 甫 甁 甩 用 甩 甽 用 甩 甫 用甁甩 甫 用 甩甁 甫 用甁甩 甽 用 用甩甩甁 甫 用由甩 甫 用甁甩 甫 用 甩甁 甫 用甁甩 甽 畛 用 用甩甩 用甩 甫 用 甩畝甁 甫 甫用甁甩 甲甮由甮 存存存在在在 区区区间间间精精精细细细估估估计计计甪甮 例例例甴甮 甽 甫 甬 用田甩 甽 由甬 右行饱和解 甽 用甩甬 畛田 甩甬 给 出的尽可能精确