数学物理方程第四章-留数定理.ppt

阜师院数科院 * 第 四 章 留 数 定 理 4.1 留数定理 回忆柯西定理：如果 f(z) 是复闭通区域上的解析函数，则 这样的积分不为零，必定包含奇点。因此，研究奇点是求积分的第一要务。 1. 定理 设函数 f(z) 在回路 l 所围区域 B 是除有限个孤立奇点 ，外解析，在闭区域 上除点 外连续，则 又： 证明 如图，当区域中含有一个孤立奇点时在其收敛环可写 当区域中有 n 个孤立奇点时 # 柯西定理 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分 等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。 一个孤立奇点 当区域中有 n 个孤立奇点时 # 2. 留数的计算 A. 单极点的情况： 作为幂零项 B. m 阶极点的情况 m-1 次求导后 项为幂零项 首先－必须确定极点的阶！ 分析＋经验 3. 例 (1) 处的留数。 解 分母的因式分解 一个单极点 (2) 求 的极点，以及在极点上的留数。 解 极点为 无穷多个单极点 (3) 求 的极点，以及在极点上的留数。 解 A. 单极点 (4) 计算沿单位圆 的如下回路积分。 解 寻找被积函数在单位圆内的极点，即它的分母在单位圆内的零点。 B. 3阶极点 其中 在单位圆外。 又 在单位圆内 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。 如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 [a,b] (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中， 而实积分 成为回路积分的一部分： 左边可以利用留数定理，右边对 的积分在解析延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择 使积分最易完成。这样可以完成实变函数定积分。 现在，大部分这样的积分可以应用计算软件完成，我们在这儿只给出最基础的类型。 类型一：三角函数的有理式的积分 变量变换 积分区域变换：线段到单位圆。 例 解 类型二： 其中，复变函数 f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大时，zf(z) 一致地趋于零。 这个积分通常看作为极限 而当 时，此极限称为 I 的主值 例 n 为正整数. 解： 上半平面上有 n 阶极点 i 。 *