第四章 留数定理习题梁昆淼数学物理方法.doc

第四章 留数定理 1. 函数在的奇点类型为 本性奇点 ，其留数为 1/2 。 2. 设为整数,则 0 。 3.函数有____1___个极点，为_____1____阶极点，在极点处的留数为____________－2____________。 4. 为 的单极点，则 为__________________。 5.函数在的奇点类型为 可去奇点 ，其留为 0 6.函数有________个极点，为__________阶极点；在极点处的留数 为________________________。 7.为 的 。 A) 单极点 B) 二阶极点 C) 三阶极点 D) 四阶极点 8.已知函数，试判断是 的几阶极点，然后计算、和在的留数，再利用所得结果给出在的邻域上洛朗展开级数的前三项。(注意：此题亦可用的泰勒展开直接求出的洛朗展开的前几项，然后利用所得结果求出留数。) 9.求函数的奇点所在的位置，然后计算积分。 10.用留数定理计算复积分。 解： 回路内有两个一阶极点 （2分）其留数为 （2分）。 11.用留数定理计算实积分 解： 设则 （2分） 于是， （2分） 的零点 其中只有为单位圆内一阶极点（2分）， 其留数为 （2分） 由留数定理得 （2分 12.用留数定理计算复积分。 解：被积函数有两个极点对积分有贡献：单极点，两阶极点。 留数分别为 ---(6分) 根据留数定理得 13.用留数定理计算实积分。 解：根据留数定理有： 在上半平面所有奇点留数之和｝---(2分) 所以 14.用留数定理计算复积分 解：由题意 被积函数，有一个二阶极点和一个单极点。（3分） 又因为二阶极点不在积分回路之内，所以现在只考虑单极点，即 （5分） 所以复积分 （2分） 15. 用留数定理计算实积分。 解：由题意 而 （1） （2） （2分） 对于（1）式中，积分函数有两个单极点，在上半平面，而在的留数为 （3分） 对于（2）积分中的函数有两个单极点，函数在的留数为 （3分） 所以 （2分） 16.用留数定理计算复积分。 解： 回路内有一个二阶极点 和一个单极点（2分）其留数为 和　 （6分） （2分）。 17. 用留数定理计算实积分。 解：根据留数定理有： 在上半平面所有奇点留数之和｝(2分) 所以 (3分) (3分) (2分) 18.用留数定理计算复积分 。 19. 用留数定理计算实积分。 20.用留数定理计算积分。解：被积函数在积分围线内有两个极点：单极点，两阶极点。 ---(2分) 留数分别为 ---(3分) 和 ---(3分) 根据留数定理得 ---(2分) 用留数定理计算实积分 。 解： ----------------(2+2+2=6分) 根据留数定理得 ----------------(2+1+1=4分)