《数学物理方法》第四章-1.ppt

一、 复数项级数概念 幂级数的性质： 四、 解析函数的泰勒级数展开式 通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数.现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值. 1 泰勒定理 2 将函数展开成泰勒级数的方法 谢谢大家！ 另一部分 用反证法证明 收敛圆 收敛半径 三、 收敛半径的求法 * * 第四章 解析函数 的幂级数表示 4.1 函数项级数的基本性质 定义 复数项无穷级数 设有复数列 其中 则 称为复数项无穷级数. 前n项和 称为级数的部分和. 若部分和复数列 存在有限极限，则称无穷级数 收敛，而这极限值称为该级数的和, 即 记作 级数收敛 级数发散 若部分和数列 无有限的极限，则称 级数发散 收敛的必要条件是 级数 考察级数 的敛散性. 例 解： 由定理知，只需讨论级数的实部级数 和虚部级数 的敛散性. 因为级数 发散，故原级数发散. 绝对收敛 若级数 收敛，称原级数 为绝对收敛级数. 条件收敛 若复数项级数 收敛，但级数 发散，则称原级数 为条件收敛级数. 说明： 级数 的各项均为非负实数，因此 为正项实级数，故可按正项级数的收敛性判别法则， 如比较判别法，比值判别法或根式判别法等判断 其收敛性. 若级数 收敛，则级数 必收敛； 即为调和级数，故发散. 是收敛的，但由于 例如级数 但反之不一定成立. 另外，若有 ，则 因此又可以得到下面的定理: 级数 绝对收敛的充分必要条件是实数项级数 与虚数项级数 都绝对收敛. 绝对收敛级数的各项可以重排顺序，而不改变其绝对收敛性与和. 定理 若已知两绝对收敛级数 则两级数的柯西乘积 也绝对收敛，且收敛于： 例 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 解：因 ， 都收敛，故原级数收敛，但因 为条件收敛，所以原级数为条件收敛. 是定义在区域D上的复变函数 序列，则称表达式 二、 复变函数项级数 定义 复变函数项级数 设 为复变函数项级数. 该级数前n项和 称为级数的部分和. 一致收敛 4.2 幂级数与解析函数 一、 幂级数概念 或 (2)