自考高等数学精.doc

第一章　函数及其图形 1.1　预备知识 　　一、基本概念　　1.集合　　具有某种特定性质的事物的总体。　　组成这个集合的事物称为该集合的元素。　　 　　2.包含关系　　集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A。　　若XA，则必xB，就说A是B的子集，记作AB　　数集分类：　　N----自然数集　　Z----整数集　　Q----有理数集　　R----实数集　　数集间的关系：　　NZ,ZQ,QR.　　3.相等关系　　若AB，且BA，就称集合A与B相等。记作（A＝B）　　例1　则A＝C.　　【答疑编 　　4.空集　　不含任何元素的集合称为空集（记作）。规定空集为任何集合的子集。　　例2　　　【答疑编　　5.集合之间的运算　　1)并：由 中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为AB　　　　例3　　　【答疑编 　　例4　　　【答疑编 　　2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为AB　　　　例5　　　【答疑编 　　例6　　　【答疑编 　　3）差：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A-B　　　　例7　　　【答疑编 　　二、绝对值　　1.绝对值的定义：　　2.绝对值的性质：　　（1），当且仅当a＝0时，　　（2）　　（3）　　（4）　　3.绝对值的几何意义：　　（1）表示数轴上的点x与原点之间的距离为a。 　　（2）表示数轴上的两点x与y之间的距离为a。　　4.绝对值不等式：　　k0时，则有 　　k0时，则有 　　例8　，求x的值。　　【答疑编　　答案：x=±5　　5.绝对值的运算性质：　　　　例9　化去下列各式绝对值的符号：　　（1）　　【答疑编 　　（2）　　【答疑编 　　（3）　　【答疑编 　　（4）　　【答疑编 　　例10　解下列含有绝对值符号的不等式：　　（1）　　【答疑编 　　（2）　　【答疑编 　　（3）　　【答疑编 　　三、区间　　是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点。　　　　　　　　以上区间都叫有限区间　　　　这两种形式的区间叫无限区间　　　　区间长度的定义：　　两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.　　四、邻域　　设a与是两个实数，且0，数集称为点a的邻域，记作U(a)。　　点a叫做这个邻域的中心，叫做这个邻域的半径。　　 　　 　　　　点a的去心邻域，记作。　　区间与邻域的关系： 　　例11　解不等式并用区间表示不等式的解集：　　（1）　　【答疑编 　　（2）　　【答疑编 1.2　函数 　　一、函数的概念　　1.定义　　设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作　　　　数集D叫做这个函数的定义域，当时，称为函数在点处的函数值。　　函数值全体组成的数集　　称为函数的值域。　　2.函数的两要素：定义域与对应法则。　　　　约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。　　例1、　　　【答疑编　　例2、　　　【答疑编　　例3、判断下列两个函数是否相等　　【答疑编 　　例4、求函数的定义域　　【答疑编 　　例5、符号函数　　　　【答疑编　　 　　3.分段函数　　在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数。　　例6、　　【答疑编　　　　例7、求下面分段函数定义域并画出图形。　　【答疑编 　　例8、将下面函数化为分段函数　　【答疑编 　　二、函数的表示法　　1.图象法　　2.表格法　　3.解析法 1.3　函数的特性 　　一、函数的有界性　　若有成立，则称函数f（x）在X上有界，否则称无界。　　　　　　　　例9、判断下面函数在其定义域是否有界　　（1）符号函数y＝sgnx 　　【答疑编 　　（2）y＝x2　　【答疑编　　2.函数的单调性：　　设函