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维普资讯 20O6年第 3期 中学数学研究 27 关于切 比雪夫多项式的一些研究 华 南 师 范 大 学 数 学 科 学 学 院 (510631) 吴 康 广西师范大学数学与计算机科学学院 (541oo4) 龙开奋 一 、 切 比雪夫多项式 7．对n≥1，方程 ()=0的全部 n个复根都是 以俄国著名数学家切 比雪夫 (Tschel~scheff，又译 不相同的实数 ，都位于开区间(一1，1)内，它们是 = 契贝谢夫等，1821 1894)的名字命名的重要的特殊函 伽 _二 ，k：l2一，n． 数第一类切比雪夫多项式 (简称切比雪夫多项式)，源 8．函数列 { ()}的生成函数为 起多倍角的余弦函数的展开式，定义为[][][][] ()=伽 (ItaICCOSX,) = 尚 … (9) 笔者经研究，发现切比雪夫多项式还具有下述性 = ≥O(_1)㈦、Z， (1)质．写成如下定理 1至 6的形式： 其中 ∈z0(非负整数集)；f1表示组合数 定理 1 对 n∈Zo，Y∈C，Y≠0，恒成立 、 m l ( )： ． (10) 丁 (n≥m)或0(nm)，n，m∈Zo； 证明：对 n用数学归纳法．n=0，1时(10)式显然 ∈c(复数集)． ()称为第 n个切比雪夫多项式． 成立．设 (10)式对不大于 n+1的非负整数成立，则由 前 l0个切 比雪夫多项式为 (8)式，令 u=(Y+Y )／2得 ％()=I，Tl()= ， ()=2x 一I， +2(u)=2uT,,+l(u)一 (u)= (y+y-1)[ ()=4x 一3x， ()=8x 一8x +I， +y-( ’]／2一( +y-n)／2=[ +y-(n+2)]／2． ()= 16x 一20x +5 ， 这表明(10)式对 n+2仍成立．由数学归纳法原理知 ／6()=32x 一48x +18x 一1， (10)式对一切非负整数 n成立．证毕 ， ()=64x一l12x +56x 一7x， 定理2 对 n∈Zo，0∈R，恒成立 ()= 128x。一256x+160x 一32x +1， c^(胡)= (chO)． (11) x)=256x9—576x7+432x一120 +9x． (2) 证 明：因双曲余弦函数 chO： ( +e-o)／2，取 切比雪 夫 多项 式 有 许 多美 妙 的性 质 ，例 =Y，由定理 1得 (chO)= ( +e一胡)／2=ch(nO)． 如[1][2][3][4]：