2025高考数学临门一脚 大题01三角函数与解三角形（5大经典题型）（含答案解析）.docx
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大题01三角函数与解三角形
三角函数与解三角形是高考必考点。教改之前会考察解答题。最近两年的高考，主要以填空和选择形式出现，考察三角公式、解三角形及三角函数图像与性质，另外，近两年在填空题11题中考察实际应用问题的解决，主要考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.
但是，最近两年一模二模的解答题17与18题中，三角函数与解三角形仍然占据了很大的比重。
题型1三角函数的图像与性质
（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数f(x)=sin
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若y=g(x)的图像是由y=f(x)的图像向右平移π6单位长度得到，则当x∈?π2,
【答案】(1)π6+k
(2)x
【分析】（1）令2x
（2）根据图像平移求出y=
【解析】（1）f
=
=
=
=?
令2x+π6∈π2
所以f(x)的单调递增区间为π
（2）由题意可得g(
由g(x)≤54可得sin
由正弦函数图像可得2x
则x∈?
此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)
（2）降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为
3、辅助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。
1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数fx=6
(1)求函数fx
(2)将函数y=fx的图象向左平移π24个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，当x∈
【答案】(1)fx
(2)9π
【分析】（1）根据三角恒等变换的知识化简fx的解析式，根据周期性求得ω
（2）根据三角函数图象变换求得gx
【解析】（1）f
=2
∵图象中两条相邻的对称轴之间的距离为π2
∴T2=π2，
∴ω=2，f
令2kπ+π
∴fx的单调递减区间为k
（2）y=fx图象向左平移π
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得gx
由gx
sinx+cosx
则2sinx
∴t2?t?2=0，∴
由x∈0,154π，∴x
则t=2sin
在区间π4,4π，结合正弦函数对称性可得，方程②有4个根
u1,u2和u3
则所有根之和u1
所以方程①的4个根x1,x
2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数fx=?2sin
(1)若函数fx的图象关于y轴对称，求φ的值，并求函数f
(2)当φ=?π6时，若存在x∈0,π2
【答案】(1)答案见解析
(2)?2,
【分析】（1）根据函数的对称性求出φ，再根据余弦函数的性质求出其单调递减区间.
（2）先求出f(x)∈[?1,3]，再换元，令t=f
【解析】（1）因为函数fx=?2sinx
所以2φ=π
又φπ2，所以φ
当φ=π4
所以fx的单调减区间为?π+2kπ,2
当φ=?π4
所以fx的单调减区间为2kπ,π+2
综上可得：当φ=π4时fx的单调减区间为
当φ=?π4时fx的单调减区间为
（2）当φ=?π6
因为x∈0,π
∴?32
所以fx∈?1,3，令
则等式f2x?fx
m=?
当t=?1时，m取得最小值?2；当t=12时，
故m的取值范围是?2,
3．（2025·上海·模拟预测）已知ω0，fx
(1)若函数y=fx的最小正周期为π，求ω
(2)当ω=1时，设a∈0,2π.若函数y=fx和y=fx+a在
【答案】(1)ω
(2)0,
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数fx的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数ω
（2）当ω=1时，求出函数fx在区间0,π上的最大值，可知，当x+a+π3=π2+2kπk∈
【解析】（1）f
=sinωx
因为ω0且函数fx的最小正周期为π，故
（2）当ω=1时，f
若x∈0,π时，
当x+π3=π
而函数y=fx
故当x+a+π3
因此可得x=
①当k=0时，可得π6?a∈
②当k=1时，可得13π6?a∈
当k≥2时，x=π
当k≤?1时，x=π
综上所述，a的取值范围为0,π
4．（23-24高三上·阶段练习）函数fx
(1)求函数y=fx
(2)将函数y=fx的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标