2025高考数学临门一脚 大题05概率统计（4大经典题型）（含答案解析）.docx
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大题05概率统计
教材改革之后考察占比加大到20%，客观题3道，解答题以应用题形式出现，多出现在第19题。
概率与统计解答题，每年必考，难度中等或中等偏上.该类问题以真实情境为载体，注重考查学生的应用意识、阅读理解能力以及数据分析、数学建模和数学运算素养，充分体现了概率与统计的工具性和综合性.
从近几年的命题情况看，命题热点有（1）概率问题，核心是概率计算及离散型随机变量的分布列与期望的求解，其中互斥、对立、相互独立事件的概率，条件概率，全概率是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具；（2）统计问题，核心是样本数据的获得及分析方法，重点是统计图表的应用，随机变量的分布列，样本的数字特征、一元线性回归模型及独立性检验；（3）概率与统计的综合，概率统计与其他知识（如函数、数列）的综合.
具体解题时，需要先过“审题关”，再过“公式关”，最后过“运用关”，否则，极易出现错误，导致“会而不对”.
题型一：概率
1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小A、高二小B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．
二分球出手
二分球命中率
三分球出手
三分球命中率
小A
100次
80
100次
40
小B
190次
70
10次
30
现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数）
(1)小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小B，此次必定能评为校MVP，试通过计算判断小C的想法是否准确？
(2)小D是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a、小b轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小a的命中率始终为0.4，小b的命中率始终为0.3，②游戏中投篮总次数最多为k3≤k≤20,k∈Z次，且同一个游戏人物不允许连续技篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k
（ⅰ）若小a第一次投篮，请证明小a获胜概率大；
（ⅱ）若小b第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由．
【答案】(1)不正确
(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）答案见解析，理由见解析；
【解析】（1）由题意小A总出手200次，命中120次，命中率为：120200
小B总出手200次，命中136次，命中率为136200
故小B获校MVP，所以小C的想法不正确；
（2）（ⅰ）证明：若第一次投篮人物为小a，k3≤
小a获胜的概率为Pa，小b获胜的概率为1?
则Pa
所以若小a第一次投篮，小a获胜概率大，
（ⅱ）若第一次投篮人物为小b，k3≤
小b获胜的概率为Pb，小a获胜的概率为1?
则P
=0.3×
其中m
由指数函数的单调性可知：Pb=15
计算可得：f2
所以当m≥3也就是7≤k≤20
当m3也就是3≤k≤6
综上：若小b第一次投篮，k∈3,4,5,6时，小
k∈k7≤
2．（2024·上海青浦·一模）第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的A、B、C三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表:（单位:个）
产品A
产品B
产品C
普通装
????n
180
400
精品装
300
420
600
现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个.
(1)求n的值；
(2)用分层抽样的方法在C款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率;
(3)对抽取到的B款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的B款产品的某种指标的总体方差（精确到0.01）.
【答案】(1)100；
(2)910
(3)2.70.
【解析】（1）由题意可知，该工厂一天所生产的产品数为
n
现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个，
则180+420n+1900=
（2）设所抽取的样本中有p个精品装产品，则p5=
所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品.
因此从样本中任取2个产品，至少有1个精品装产品的概率为C
（3）由题意，某项指标总体的平均数为180×10+420×12600
所以由分层抽样的总体方差公式可得s
=
3．（2024·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查