抛物型方程的有限差分法3.3--3.5.pdf

第3章 抛物型方程的差分法 §3 Fourier方法 前节介绍的判别稳定性的直接估计法, 原则上可用于一般 非驻定问题, 但只能在一些简单情形才能估计矩阵族 Ck ( )τ C τ 的阶(N-l)随着 的范数, 这里遇到的主要困难之一是矩阵 ( ) h→0而无限增大。 本节仅限于讨论常系数线性非驻定方程的纯初值问题和 带周期边值条件的混合问题。 Fourier方法：可用Fourier方法(Fourier积分和Fourier级数) 将空间变量和时间变量分离,从而将偏微分方程化为常微分方程 后再讨论解的适定性。 本节是将Fourier方法用于相应的差分方程，得到若干便于 应用的判别稳定性的代数准则。 3.1 差分方程的Fourier方法 先考虑线性常系数一阶方程抛物型方程，具有周期(周期为l) 边值条件。 逼近它的二层差分方程的一般形式为： a uk +1 b uk ∑ ∑0, 1, 2, , j 1 L N − m j +m m j +m （3.3.1 ） m∈N m∈N 1 0 （只考虑按初值稳定，故可设右端为零）这是在空间网点x 处的 j 差分方程,N 和N 是包含0及其附近的正负整数的有限集合,a 和 0 1 m b 不依赖于j 但可能和 τ有关。 m 例如，对向前差分格式 k +1 k ( ) k k +u − ru + 1r u2 ru j j +1 j j −1 其中N ={-1,0,1},N ={0}，a =1,b b =r, b =1-2r 。 0 1 0 -1 1 0 例如,对向后差分格式 k +1 ( ) k +1 k +1 k − + + =− r uru 1ru 2 u j +1 j j −1 j 其中N ={-1,0,1}，N ={0}，b =1,a a =r, a 1+2r 。 1 0 0 -1 1 0 对六点对称差分格式 r k +1 k +1