椭圆型方程的有限差分法2.4--2.5.pdf

第4章 椭圆型方程的差分法 §4. 三角网的差分格式 前面介绍了矩形网格的差分格式，其特点是：计 算公式简单，求解差分方程较容易，但是对于复杂的 区域其几何逼近误差大，不能局部任意调整网格。三 角网的差分格式具有网格的灵活，自然边值条件容易 处理等优点，特别地，它还保持积分守恒（质量守恒 ），深受使用者的欢迎。 积分插值法用于三角网，可得到三角网的差分格 式。文献上常称之为有限体积法或广义差分法。 考虑有界区域G上的Poisson方程 u−Δf （4.1） 在边界G上满足第一、第二及第三边值条件(3.1) ,(3.1) ,(3.1) 1 2 3 作G的三角剖分： % 1) 在G上取一系列的点，以其为顶点连成闭折线 Γ≈Γ, 并记 ~ ~ G 为由 Γ 围成且逼近G的多边形区域； ~ 2）将 G 分割成有限个三角形之和。 • • • 每个三角形应满足： • • • • ①不同的三角形无重叠的内部区域； • • • • ②任意三角形的顶点不属于其它 • • • 三角形的内部； • • ③三角形的每个内角不大于 90o • • • 节点—三角形的顶点； 单元—每个三角形； 相邻节点—同一单元的顶点； 有一公共边的两两三角形互为相邻单元； 对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为 顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕节 点的小多边形称为对偶单元。 全体对偶单元构成区域的一个新的网格剖分成为对偶剖分。 下面我们将对每一个内点建立差分方程。 设p 是内点，p ,p ,…,p 是p 的相邻节点，q 是三角形△p p p 0 1 2 6 0 i 0 i i+1 p p (p p )的外心（三条垂直平分线的交点），m 是线段 0 i 的中点， 7 1 i G 是q ,q ,…,q 所围成的对偶单元。 对于（4.1）两端