点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程.doc
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用差分法解椭圆型偏微分方程
-（Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)e^xsin(pi*y) 0x2; 0y1
U(0,y)=sin(pi*y),U(2,y)=e^2sin(pi*y); 0=y=1
U(x,0)=0, U(x,1)=0; 0=x=2
先自己去看一下关于五点差分法的理论书籍
Matlab程序：
unction [p e u x y k]=wudianchafenfa(h,m,n,kmax,ep)
% g-s迭代法解五点差分法问题
%kmax为最大迭代次数
%m,n为x,y方向的网格数，例如（2-0）/0.01=200;
%e为误差，p为精确解
syms temp;
u=zeros(n+1,m+1);
x=0+(0:m)*h;
y=0+(0:n)*h;
for(i=1:n+1)
u(i,1)=sin(pi*y(i));
u(i,m+1)=exp(1)*exp(1)*sin(pi*y(i));
end
for(i=1:n)
for(j=1:m)
f(i,j)=(pi*pi-1)*exp(x(j))*sin(pi*y(i));
end
end
t=zeros(n-1,m-1);
for(k=1:kmax)
for(i=2:n)
for(j=2:m)
temp=h*h*f(i,j)/4+(u(i,j+1)+u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i-1,j))/4;
t(i,j)=(temp-u(i,j))*(temp-u(i,j));
u(i,j)=temp;
end
end
t(i,j)=sqrt(t(i,j));
if(kkmax)
break;
end
if(max(max(t))ep)
break;
end
end
for(i=1:n+1)
for(j=1:m+1)
p(i,j)=exp(x(j))*sin(pi*y(i));
e(i,j)=abs(u(i,j)-exp(x(j))*sin(pi*y(i)));
end
End
在命令窗口中输入：
[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.1,20,10,10000,1e-6) k=147
surf(x,y,u) ;
xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);zlabel(‘u’);
Title(‘五点差分法解椭圆型偏微分方程例1’)
就可以得到下图
ｓｕｒｆ（ｘ，ｙ，ｐ）
ｓｕｒｆ（ｘ，ｙ，ｅ）
[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.05,40,20,10000,1e-6)
[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80,40,10000,1e-6)
为什么分得越小，误差会变大呢？
我们试试运行：
[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80，40,10000,1e-8)
K=2164
surf(x,y,e)
误差变小了吧
还可以试试
[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80，40,10000,1e-10)
K=3355
误差又大了一点
再试试
[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80,40,10000,1e-11) k=3952
误差趋于稳定
总结：
最终的误差曲面
与网格数有关，也与设定的迭代前后两次差值（ep,看程序）有关；固定网格数，随着设定的迭代前后两次差值变小，误差由大比变小，中间有一个最小值，随着又增大一点，最后趋于稳定。
也许可以去研究一下那个误差最小的地方 或者研究趋于稳定时的临界值。
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