对流方程差分法.pptx

对流方程的差分法;一、研究对象;;考虑一维双曲型对流方程：;2. 原方程弱化为节点处的离散方程;;;4.差分格式的求解;;易见，;②：关于时间、空间的一阶偏导数分别利用一阶向前 差商和一阶向后差商近似，即有;将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立以下差分格式：;从而有稳定性条件要求; 这样我们可以根据原方程中系数 a的符号来选取恰 当的步长及合适的数值格式。迎风格式实际上是在双 曲型方程离散的过程中将关于空间的偏导数用在特征 方向一侧的单边差商来代替，体现了原方程中波的传 播方向，它们都是一阶格式。事实上，原方程含有未 知函数关于空间的一阶偏导数项，也就是对流项，尽 管在数学理论上对这个一阶偏导数进行离散是没有什 么特殊困难的，但在物理过程看却不是这样，因为对 流作用带有强烈的方向性，所以对流项的???散是否合 适直接影响数值格式的性能，这也就说明了迎风格式 之所以有效是因为使用了单边差商。;③：前面讨论了关于时间和空间的一阶偏导数均用 一阶差商近似的情况，接下来容易想到可以对空间 的偏导数采用二阶中心差分来近似，从而有;;;误差为;可见上述格式的局部截断误差为;四、Lax-Friedrichs 格式;再将上述近似代入离散方程，可得;Lax-Friedrichs格式;;五、Lax-Wendroff 格式;将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立以下Lax-Wendroff格式：;; 最后再介绍一个二阶的Beam-Warming格式，本质 上它充分考虑了迎风格式的“迎风”特点，同时借用 Lax-Wendroff格式的设计思想提高了精度。;同样地，再取迎风的二阶偏导，即;;再利用分解式，可得此格式的增长因子为;编程实现的基本环节 ;七、数值算例;精确解为：; 迎风格式、Lax-Friedrichs格式、 Lax-Wendroff格式、 Beam-Warming 格式;八、隐格式的设计