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第二章 控制系统的数学描述 第二章 控制系统的数学模型 第二章 控制系统的数学模型 ◆实验法（黑箱法、辨识法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。 本章内容概要 第一节 数学基础-拉氏变换及其应用 第二节 控制系统微分方程的建立 第三节 传递函数 第四节 控制系统建模示例 第五节 控制系统的方框图及其等效变换 第六节 信号流图 第一节 数学基础-拉氏变换及其应用 一、拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t0时 f(t)=0 ② t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换（广义积分变换）存在，其表达式记作 控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限 四、拉氏反变换 例2.1 求 的反拉氏变换 例2.2 求 的反拉氏变换 例 求 的原函数 线性定常系统微分方程的建立步骤 一、建立控制系统微分方程的一般方法 例2.7 已知RC滤波网络如图所示，试写出网络输入输出间的微分方程。 一、建立控制系统微分方程的一般方法 在考虑负载效应的情况下，微分方程的列写步骤如下： 列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua为输入量，电动机转速ω为输出量，列写微分方程。图中R、L分别是电枢电路的电阻和电感，ML为折算到电动机上的等效负载转矩，视为干扰输入。 解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua在电枢回路中产生电枢电流ia，再由电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转距M，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下两个部分的平衡方程组成。 电枢回路电压平衡方程 电动机轴上的转距平衡方程 一、建立控制系统微分方程的一般方法 一、建立控制系统微分方程的一般方法 三、非线性数学模型的线性化 1．问题的提出 严格地讲，一个实际的物理系统都会含有不同程度的非线性因素，如元件的死区、传动的间隙、输出饱和等，然而许多非线性元件或系统在一定条件下（譬如，在工作点附近）可以近似地视为线性系统。 三、非线性数学模型的线性化 三、非线性数学模型的线性化 叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的总输出等于各个外单独作用时分别产生的输出之和。且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。 二、线性系统的基本特性 用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。 线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。 叠加原理有两重含义:可叠加性和齐次性 2．增量方程与非线性方程的线性化 系统中所包含的有关变量的非线性函数，只要在平衡工作点附近连续，且各阶导数存在 ，在平衡点附近做小范围运动时，可以将此非线性函数以其自变量偏差的形式展开为泰勒级数。 对于线性系统而言。输入输出变量相对于平衡工作点的变化增量仍满足描述系统的微分方程关系。 如果此偏差很小，则可忽略级数中此偏差的高次项，而只保留一次项，用所得到线性化方程代替原来的非线性方程，这种线性化方法叫做小偏差线性化 尽管相应工作点通常不在坐标原点，但是我们用各变量的增量表示该变量，可以认为将坐标原点平移到了额定工作点。这样在以增量表示的新坐标系中，系统运动的初始状态就等于零了，这是我们省略△ 设有一单变量非线性函数 在平衡工作点 附近将 按泰勒级数展开，即 例2.10设三相桥式晶闸管整流电路的输入量为控制角 ，输出量为整流电压 它们之间的关系是非线性的 假如正常额定工作点为A ,此时 设控制角以工作点A为基准在小范围内变化 控制角和整流电压之间的关系可以线性化为 *自动控制原理 autocumt@126.com 控制系统数学模型是对实际物理系统的一种数学抽象。 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。 数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。 物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 。 数学表达式：代数方程、微分方程。 动态模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性。 用微分方程描述 系统与时俱变 生生死死 变化多姿，能量转化。 建模方法 ：分析法、实验法 ◆分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，写出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。 利用物理定律——如牛顿定律、基尔