第六章理想流体动力学a.doc

第六章 理想流体动力学 6-1平面不可压缩流体速度分布为 Vx=4x+1；Vy=-4y. 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ 解：（1）由于，故该流动满足连续性方程 （2）由ωz=()=＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数ψ存在，. （3）因 Vx=4x+1 Vy==-=-4y dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy φ= dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy= (4x+1)dx+(-4y)dy =2x2-2y2+x dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy ψ= dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy= 4ydx+(4x+1)dy =4xy+y 6-2 平面不可压缩流体速度分布: Vx=x2-y2+x; Vy=-(2xy+y). 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ . 解：（1）由于+=2x＋1－（2x＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在. (2）由ωz=()=＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在. （3）因 Vx= == x2-y2+x, Vy==-=-(2xy+y). dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x )dx+(-(2xy+y).)dy φ= dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy = (x2-y2+x )dx+(- (2xy+y))dy =-xy2+(x2-y2)/2 dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy ψ= dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy =(2xy+y)dx+ (x2-y2+x)dy =x2y+xy-y3/3 6-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x2-y2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值 解: 因 Vx= ==2x-1，Vy ＝，由于+＝0，该流动满足连续性方程，流函数ψ存在 dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy ψ= dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=2ydx+(2x-1)dy=2xy-y 在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; ψ=3 在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; ψ=6 6-4已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx,εyy, 求出速度势函数φ. 解： 因 Vx= == 1 Vy==-=-1 dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy φ= dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+(-1)dy=x-y ax=； ay= 6-5一平面定常流动的流函数为 试求速度分布，写出通过A（1，0），和B（2，）两点的流线方程. 解：, 平面上任一点处的速度矢量大小都为，与x和正向夹角都是。 A点处流函数值为?，通过A点的流线方程为。同样可以求解出通过B点的流线方程也是。 6-6平面不可压缩流体速度势函数 φ=ax(x2-3y2),a0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量. 解： 因 Vx==a(3x2-3y2) Vy==-=-6axy dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)dy ψ= dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy =6axydx+(3x2-3y2)dy =3x2y-ay3 在A(0,0)点 ψA=0； B（1,1）点ψB=2a，q=ψA-ψB=-2a. 6-7 证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x2+x-y2, (Ⅱ)ψ=2xy+y. 证明:对 (Ⅰ)φ=x2+x-y2 Vx= =2x+1 Vy==-2y 对 (Ⅱ) ψ=2xy+y Vx =2x+1 Vy=-=-2y 可见与代表同一流动. 6-8 已知两个点源布置在x轴上相距为a的两点，第一个强度为2q的点源在原点，第二个强度为q的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q0）。 解: 两个流动的势函数分别为及, 合成流动的势函数为+, +)= (+)= 6-9 如图所示，平面上有一对等强度为的点涡，其方向相反，分别位于（0，h），（0，-h）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x轴的来流，试求合成速度在原点