1-1复数及其运算.ppt

复变函数的应用背景 第一章 复数和复变函数 §1-1 复数及其运算 §1-2 复变函数 一、复数的概念 三、 复数的表示方法 四、扩充复平面与复球面 由复数的表示式和代数运算得如下关系式 若 是简单曲线， 与 是定义在区 间[a,b] 上连续并且有连续的导数，并且 有 ，则称 为光滑曲线，由有限 条光滑曲线首尾连接而成的曲线为逐段光滑 曲线． 八、平面点集与区域 定义: 若点集D为区域则称D 连同其边界 所组成的点集称为闭域。 如果区域 D 是有界集合，则称它为有界 域，否则为无界域。 任意一条简单闭曲线 必将复平面唯一地分成 三个点集，使它们满足：（1）彼此不相交；（2） 是有界区域（称为曲线 的内部）；（3） 是无界区域（称为曲线 的外部）； （4）C 既是 的边界又是 的边界； 3 例题 例 设点集 则点 是 的内点； 是 的边界点； 是 的外点； 是开集且为有界集； ， 是闭集且为有界集． 即 常称为单位圆． 这里的 (8) 单连通域与多连通域的定义 复平面上的一个区域G, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于G, 就称为单连通区域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通区域. 单连通域 多连通域 3.单连域和多连域 外部 化简后得 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面上的点来表示复数. 球面上的北极 N 不能对应复平面上的定点，但球面上的点离北极 N 越近，它所表示的复数的模越大. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而, 球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示. 包括无穷远点的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. 球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应, 这样的球面称为复球面. ∞ 的几何解释： 由于在复平面上没有一点能与 ∞ 相对应，所 以，只得假想在复平面上添加一个“假想点”（或“理想点”）使它与∞ 对应，我们称此“假想点”为无穷远点．???? 关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想点后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远点，同时，任一半平面都不包含无穷远点． ? 这里要特别注意的是，这里的记号 ∞ 是一个数，而在数学分析中所见的记号 +∞ 或 －∞ 均不是数，它们只是表示变量的一种变化状态． 为使无穷远点有更加令人信服的直观解释，人们引入了黎曼球面（或复球面）：????将一个球心为O ，半径为1的球按照以下方法搁在直角坐标系 （图1-5）中（设复平面与 坐标平面重合）,使球的一条直径与 轴重合． 五、 乘积与商 即： 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 定理1可推广到n 个复数的乘积。 o x y (z) z1z2 z2 要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1. 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。 即 例 6 解 de Moivr 公式 定义 六、 乘幂与方根 乘幂 例7 求 的值 解： 故有 因为 可以推得: 从几何上看, 方根 例 8 解 即 （1） 连续曲线 平面曲线的复数表示: 七、平面曲线 （2） 光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按(分)段光滑曲线. （3） Jordan曲线 除起点与终点外无重点的连续曲线C 称为简单曲线. 起点与终点重合的曲线C 称为闭曲线. 简单闭曲线称为Jordan(若当)曲线. Jordan曲线的性质 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 内部 外部 边界 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简单 闭 简单 不闭 不简单 闭 不简单 不闭 逐段光滑曲线 （1） 邻域 注意 (2) 去心邻域 注意： (3) 内点 (4) 开集 如果G 内每一点都是它的内点,那末称G 为开集. (5) 区域 连通的开集称为区域, 即：如果平面点