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用迭代法与牛顿法求近似值 摘要：本文给出了相当广泛的一类方程求解的近似值的方法,并对,高次方程,方程,线性方程,以及迭代函数的估值等方面,举例作了说明. 关键词：迭代法;牛顿法;对角占优矩阵 Finding the approximation by the iterative method and Newton’s method Abstract: In this paper are given the methods to find the approximate value of a solution of rather general a kind of equations, and given some examples to explain these methods on the estimation of ,equation of higher degree equation, ,linear equation, and iterative function Keywords: iterative method; Newton’s method,;domination diagonally matrix. 1引言 迭代思想是现代数学中的一个重要思想,在数学的一些分支领域中人们常采用迭代法来逼近某问题的解,取得了重要的成果.古希腊天文学家托勒密(Peolemy )曾用迭代法给出了逼近的方法,首开使用迭代法之先河;迭代法最先在牛顿(New.ton)那里成为体系,解决了多项式函数和超越函数的近似解;数学家皮卡(Picard)也曾利用迭代法解决了常微分方程理论中重要的具有奠基意义的一阶微分方程解的存在唯一性定理.到近现代,迭代研究更是方兴未艾,被称为现代数学之灵的分形几何理论大展迭代之奇妙魅力,人们将其从实数系转至复数系,开拓了解析映照迭代(复动力系统)的研究视野,使目前最新的物理学理论奇异吸引子、混沌理论研究大有推.利用这种思想解决一些基本的数学问题,其内容也是相当丰富的,本文利用迭代法仅就狭义的意义来谈的,它是求解相当广的一类方程的一个很有效的方法. 可以用迭代对精确解进行逐步逼近.已知方程的一个近似根后,通常使用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,一直到满足给定的精确度要求为止. 具体作法是,把给定方程改写成等价形式 . （1） 在根的附近任取一点作为的预测值,把代入式（1）的右端,计算得到=. 一般说来（如果,,则）,再把作为根的新的预测值代入式（1）得.重复上述步骤,则有如下迭代公式 （2） 其中称为迭代函数,并有如下迭代序列. 如果迭代序列的极限存在,则称迭代过程收敛,显然有 .如果迭代序列的极限不存在,则称迭代过程发散. 定理1.（[2]中定理1） 若有,且存在正数 使得. （3） 则迭代过程对于任意初值均收敛于方程的根. 定理2.（[2]中定理2） 设在方程根的附近有连续的一阶导数且则迭代过程具有局部收敛性. 2计算的近似值 首先我们假设已求出的某一近似值,用来表示的误差,即假设.根据牛顿二项公式我们有 这个等式可以写成下面的形式 . 若所选择的初始近似值充分接近,则这个近似值的误差很小,因此可以舍去含有的项.这样我们就得到： . 由这个近似等式推出 . 因此可以取数 作为的下一近似值.一般地,若已求出的近似值,则下一近似值由公式 （4） 确定.当与在给定的精确度的范围内相同时,就应停止计算,并取这个相同值作为所求的. 例2.1计算精确到0.001. 解.由公式（4）知,取=3 则有, 我们看到,在给定的精确度范围内,与一样,所以我们有=3.281. 3解高次方程 设一般的代数方程为. 假设我们用某种方法求出了这个方程的根的第一近似值,它的误差为,于是我们有 , 因为的展开式可写为 , 所以 . （5） 若第一近似值选择的好,则它的误差很小,这时方程（5