第二节_牛顿迭代法.ppt

方法一. 若已知重数m(m1),则利用m构造新的迭代公式: 此时, , 至少2阶收敛. 不实用: m往往不确定. 方法二. 取 ,再对函数F(x)用Newton迭代: 第三节 牛顿迭代法与弦割法 1、牛顿法基本思想 将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。 将非线性方程线性化， 取 x0 ? x*，将 f (x) 在 x0 处做一阶Taylor展开: ，? 在 x0 和 x 之间 2. 牛顿迭代法的原理 ，可将 (x* ? x0)2 看成高阶小量，则有： 如何实现？？ 取 x y x* x0 只要 f ?C1，每一步迭代都有 而且 ，则 x*就是 f 的根。 是如下线性方程的根！ 3. 牛顿迭代法的几何解释： 方程 的根 在几何上是曲线 与 x 轴的交 点的横坐标。若 是根 的一个近似，过曲线上横坐标为 的点 作曲线 的切线，则该切线与 x 轴交点的横坐 标即为 。 x y x* x0 例2.5：?写出求 的牛顿迭代格式；?写出求 的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。 解： ?等价于求方程 的正根 ?解法一： 等价于求方程 的根 退化为二分法！！ 解法二： 等价于求方程 的正根 ? 设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 连续，且 ，则存在 x* 的邻域 ，使得任取初值 ，由牛顿迭代法产生的序列 以不低于二阶的收敛速度收敛于x*. 4、牛顿迭代法的局部收敛性定理 其中 ，则 收敛 ? 证明： 牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代 定义1. --------(9) 3.5迭代法收敛阶与加速收敛 1、迭代法收敛阶与加速收敛 定理3-6 . 2. Newton迭代法收敛定理 （1）Newton迭代公式在单根情况下至少2阶收敛; （2） 定理 设 f(x*)=0, ,且在 x* 的邻域上 f二次连续可微 ， 则可得 证：将f(x)在 xn 处作2阶Taylor展开,并将解x*代入 注意到ξn 在xn 及x*之间,及 , 故 所以，Newton法至少二阶收敛. 注意到ξn 在xn 及x*之间,及 ,故 例3. 为线性收敛 证明: 所以 例4. 至少是平方收敛的 由定义1 注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别? 证明: 令 则 所以 由定理2 该迭代法至少是平方收敛的 Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其迭代函数为: Newton迭代是局部线性化方法,它在单根附近具有较高的收敛速度. 方法有效前提: Newton迭代法的特征 21 牛顿迭代法的优缺点 优点： 在单根附近, 牛顿迭代法具有平方收敛的速 度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精 确解。 缺点:1. 重根情形下为局部线性收敛; 2. 牛顿迭代法计算量比较大:因每次迭代除