等比数列的前项和(第2课时).doc

等数列项和（第课时）一.等比数列前n项和的证明问题 例1设{an}是由正数组成的等比数列, Sn是其前n项和, 证明: log0.5Sn＋1. 【总结】本题关键是证明Sn·Sn＋2S.证明时要分q＝1和q≠1两种情况. 【变式1】已知等比数列前n项,前2n项,前3n项的和分别为Sn, S2n, S3n,求证: S＋S＝Sn(S2n＋S3n). 二.等比数列前n项和的实际应用 例2为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2010年开始出口,当年出口a吨,以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2010年为第一年,设第n年出口量为an吨,试求an的表达式; (2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2010年最多出口多少吨? (保留一位小数) 参考数据: 0.910≈0.35. 【解答】【总结】本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键,运算中往往要运用指数或对数不等式,常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算,对其结果要按照要求保留一定的精确度. 【变式2】 三.等差数列、等比数列的综合问题 例3设{an}是等差数列,bn＝an,已知:b1＋b2＋b3＝,b1b2b3＝,求等差数列的通项an. . 【总结】(1)一般地,如果{an}是等差数列,公差为d,且cn＝can (c0且c≠1),那么数列{cn}是等比数列,公比q＝cd. (2)一般地,如果{an}是各项为正数的等比数列,公比为q,且cn＝logaan(a0且a≠1),那么数列{cn}为等差数列,公差d＝logaq. 【变式3】在等比数列{an}中,an0 (n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25,又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn＝log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,当＋＋…＋最大时,求n的值. 【课堂小结】 1.深刻理解等差(比)数列的性质,熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列的性质既有类似的部分,又有区别,要在应用中加强记忆.同样,用好其性质也会降低解题的运算量,从而减少错误. 2.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解,在解方程时,仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处. 3.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型.要确定a1与项数n的实际含义,同时要搞清是求an还是求Sn的问题. 一.等比数列前n项和的证明问题 例1设{an}是由正数组成的等比数列, Sn是其前n项和, 证明: log0.5Sn＋1. 证明设{an}的公比为q,由题设知a10,q0, 当q＝1时, Sn＝na1,从而Sn·Sn＋2－S＝na1·(n＋2)a1－(n＋1)2a＝－a0. 当q≠1时, Sn＝, 从而Sn·Sn＋2－S＝－＝－aqn0. 综上知, Sn·Sn＋2S,∴log0.5(Sn·Sn＋2)log0.5S. 即log0.5Sn＋1. 【变式1】已知等比数列前n项,前2n项,前3n项的和分别为Sn, S2n, S3n,求证: S＋S＝Sn(S2n＋S3n). 证明方法一设此等比数列的公比为q,首项为a1, 当q＝1时,则Sn＝na1, S2n＝2na1, S3n＝3na1, S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a, Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a, ∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n). 当q≠1时,则Sn＝(1－qn), S2n＝(1－q2n), S3n＝(1－q3n), ∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n). 又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n), ∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n). 方法二根据等比数列性质,有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn), S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn,∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n), Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n).∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n). 二.等比数列前n项和的实际应用 例2为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2010年开始出口,当年出口a吨,以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2010年为第一年,设第n年出口量为an吨,试求an的表达式; (2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2010年最多出口多少吨? (保留一位小数) 参考数据: 0.910≈0.35. 【解答】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a1＝a,公比q＝1－10%＝0.9, ∴an＝a·0.9n－1 (n≥1). (2)10年的出口总量S10