2025年高考数学高考数学二轮重难题型攻略(新高考通用)专题13圆锥曲线二级结论秒杀技巧(6大题型)(学生版+解析).docx
PAGE/NUMPAGES
专题13圆锥曲线二级结论秒杀技巧
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
TOC\o1-1\h\u题型01椭圆、双曲线、抛物线的通径 1
题型02椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 3
题型03中点弦问题秒杀公式 4
题型04双曲线焦点到渐近线的距离为 6
题型05离心率秒杀公式 7
题型06抛物线中与焦半径有关的秒杀公式 9
题型01椭圆、双曲线、抛物线的通径
【解题规律·提分快招】
一、通径的定义
1、焦点弦
过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦.
2、通径
与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.
二、通径的性质
【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为.
【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.
性质1、性质2的证明：
①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为.
②对于双曲线，证明过程同椭圆.
③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（????）
A． B．1 C．2 D．4
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（????）
A．1 B．2 C． D．
3．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（????）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（????）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·全国·期中）已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（????）
A． B． C． D．
6．（2024·四川·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（????）
A．2 B． C． D．
二、填空题
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则.
8．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则.
9．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线的右支上一点．若线段的中点，则双曲线的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值为．
题型02椭圆、双曲线焦点三角形面积公式
【解题规律·提分快招】
椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
证明：设
．
双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（????）
A．2 B．4 C．8 D．9
2．（24-25高三上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（???）
A． B．2 C． D．4
3．（23-24高三上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（????）
A． B． C． D．
题型03中点弦问题秒杀公式
【解题规律·提分快招】
中点弦问题（点差法）秒杀公式
1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．
两式相减得，所以．
中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得
．
2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为，
3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（???）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线