2025高考数学二轮专题复习专题六解析几何微重点2圆锥曲线中的二级结论 .docx
微重点2圆锥曲线中的二级结论
[考情分析]圆锥曲线是高考数学的热点之一，善于总结解题技巧，才是提升数学解题速度与准确率的关键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论，对于小题的解决、提速有很大的帮助；对于某些大题的证明也可以有一定的启发.
考点一焦点三角形
考向1焦点三角形的面积
例1已知椭圆x216+y29=1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=60°，则△F1MF2
A.1633 B.16
C.33 D.93
答案C
解析根据椭圆焦点三角形的面积公式S△F1MF2
得S△F1MF
[规律方法]焦点三角形的面积公式：
P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则在椭圆中，S△PF1F2=b2tanθ
跟踪演练1(2024·西安模拟)设F1，F2是椭圆C：x26+y218=1的两个焦点，点P是C上的一点，且cos∠F1PF2=13，则△PF1F
A.3 B.32
C.9 D.92
答案B
解析方法一由题设，∠F1PF2∈(0，π)，可得sin∠F1PF2=22
cos∠F1PF2=PF1|2+
由|PF1|+|PF2|=2a=62，|F1F2|=2c=43，
则12PF1||PF2|=43，即
所以△PF1F2的面积S=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=32
方法二设∠F1PF2=θ，由题意得θ∈(0，π)，
则θ2∈0
因为cosθ=13，
tanθ2=1-cosθ1+cosθ=
由椭圆焦点三角形的面积公式得S△PF1F2=b2tan
考向2焦半径之积及离心率的表示
例2(2024·淄博模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，∠PF2Q=2π3，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e12e12
A.2+33 B.
C.233
答案A
解析如图，设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，双曲线的实半轴长为a2，虚半轴长为b2，
设∠F1PF2=θ，
根据椭圆和双曲线的对称性，可知四边形PF2QF1为平行四边形，则θ=π-∠PF2Q=π3
|PF1||PF2|=2b12
故b12=3
则a12+3a22=4c2，即1
则e12e12+1+3e2
=16×4+3
=16×
=2+3
当且仅当3
即e12
[规律方法](1)设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于长轴端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则①|PF1||PF2|=2
(2)设P点是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)上异于实轴端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则①|PF1||PF2|=2
跟踪演练2设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x24+y23=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=35，则PF
A.94 B.7
C.2 D.7
答案A
解析记∠F1PF2=θ，则|PF1||PF2|=2b
即PF1P
则PF1·PF2=PF1
=154×35=
考点二垂径定理
例3(多选)已知A，B是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·
A.b2a2 B.
C.-1 D.e2-1
答案BD
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则Mx1
kOM=y1+y2x1+x2，kAB=
∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得
x12a2+y12b
两式相减得x12-x
整理得y12-y22x12-x22=-
[规律方法]双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM
跟踪演练3(多选)(2024·泸州模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a0，b0的左、右焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c，过右焦点F
A.弦AB的最小值为2
B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4a
C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k=b
D.若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)
答案ABC
解析对于A，弦AB的最小值为通径2b2a，
对于B，由双曲线的定义得AF1-AF2=2a，BF
所以AF1=AF2+2a，BF
AF1+BF1=AF2+2a+BF
则△F1AB的周长=AF1+BF1+|AB|=2|AB|+4a=2m+4a
对于C，根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=b2a2，
对于D，
若直线AB的斜率为3，所以ba3，所以b23a2，所以c24a2
所以e=ca∈1，2，故