电磁场与电磁波课后习题及答案第四章习题解答.docx
习题解答
如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，
0，求槽内的电位函数。
0，求槽内的电位函数。
槽的电位为零，上边盖板的电位为
解根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
① ?(0,y)??(a,y)?0
② ?(x,0)?0
?(x,b)?U
③ 0
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
?(x,y)???
n?y n?x
Asinh( )sin( )
ybU
y
b
U0
o
a
x
n?1
由条件③，有
U ???
n?b n?x
Asinh( )sin( )
a
题4.1图
0 n
n?1
sin(
a a
n?x)
两边同乘以
，并从0到a对x积分，得到
?2U
?
A
n
? 4U
asin(n?x)dx?
asinh(n?
asinh(n?ba)
0
?
0
2Un?sinh(n?ba)0
2U
n?sinh(n?ba)
0
?n?sinh(0
??n??0，
?
?
n
ba)
,n?1,3,5,
n?2,4,6,
?(x,y)?4U0 ? 1 sinh(n?y)sin(n?x)
故得到槽内的电位分布
?
n?1,3,5,
nsinh(n?ba) a a
两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。
y?
y?0
上板和薄片保持电位 0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从 到
y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。
yU
y
U0
boxy
dxy
oxy
x
?(x,y)??
1
(x,y)??
2
(x,y)
?
其中，
(x,y)
1
为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为
题4.2图
U0）的电位，即
?(x,y)?Uyb
1 0
；?2(x,y)
是两个电位为零
?(x,y)?0(x??)
② 2
的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：
?(x,0)??(x,b)?0
① 2 2
??U ?U0y
?
(0?y?d)
??(0,y)??(0,y)??(0,y)?? 0 b
?
2 1 ?U
?
0y?
U0y
(d?y?b)
b③ ?d b
b
?(x,y)???
Asin(n?y)e?n?x
2根据条件①和②，可设?2(x,y)的通解为
2
n b
n?1
??U ?U0y
?
(0?y?d)
???A
?
sin(n?y)?? 0 b
n
n?1
?U
?
0y?
U0y
(d?y?b)
由条件③有
sin(n?y)
?d b
两边同乘以
b ，并从0到b对y积分，得到
0A?2U ?d
0
(1?y)sin(n?y)dy?2U ?b
(1?1)ysin(n?y)dy?
2U b n?d
0 sin( )
0n b b b b
0
0
d b b (n?)2d b
d
U 2bU
?? 1 n?d n?y ?n?x
0y? 0 sin( )sin( )e b
故得到
?(x,y)?
b d?2
n2 b b
n?1
W2
W
C ? e
Uyb
求在上题的解中，除开 0
f U2
一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按 0
定出边缘电容。
解 在导体板（y?0）上，相应于?2(x,y)的电荷面密度
???y2?
??
?y
2
2?U ??1 n?d ?n?x
00
0
0
??
2 0
y?0
?d
n?1
sin( )e b
n b
则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷
q ????dx?2???
dx??2????
2?U sin(n?d)e?n?xdx?
0?0?
0
0
4?Ub?? 1 n?d
2 2 2
? b ?
0 0 sin( )
?? 0
n
0n?1
d b ?2d n2 b
n?1
W?1qU
??2?
bU2 ?
?0 0
?
1sin(n?d)
相应的电场储能为
e 2 2 0
?2d
n?1
n