高数之不定积分.ppt
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第五章 定积分 定积分和不定积分是积分学的两个 一种认识问题、分析问题、解决问题的 definite integral 不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 ---- 主要组成部分. 思想方法. 第一节 定积分的概念与性质 定积分问题举例 定积分的定义 函数的可积性 定积分的意义 定 积 分 定积分的性质 definite integral 1.曲边梯形的面积 求由连续曲线 一、定积分问题举例 用矩形面积 (五个小矩形) (十个小矩形) 思想 以直代曲 定积分的概念与性质 近似代替曲边梯形面积 四个步骤来求面积A. (1) 分割 (2) 近似 n i x f A i i i L , 2 , 1 , ) ( = D ? D x (3) 求和 矩形面积之和为曲边梯形面积A的近似值. (4) 取极限 取极限, 无限细分, 极限值就是曲边梯形的面积: (1) 分割 (3) 求和 (4) 取极限 路程的精确值 (2) 取近似 某时刻的速度 2.变速直线运动的路程 已知速度 求物体在这段时间内所经过的直线距离 s . 二、定积分的定义 设函数f (x)在[a,b]上有界, 定义 任取 并作和 记 (1) 任意 (2) (3) (4) 被积函数 被积表达式 积分和 怎样的分法, 也不论在小区间 上点 怎样的取法, 只要当 和S总趋于确定的 极限I, 称极限I为函数 f ( x ) 在区间[a,b]上的 定积分. 积分下限 积分上限 积分变量 [a,b]积分区间 如果不论对 (2) 定积分与变量记号无关性! 定积分是一个数, 只依赖于被积函数和积分区间, 有关; 注 无关. 与积分变量的记号无关. 曲边梯形的面积 曲边梯形面积的负值 1. 几何意义 三、定积分的意义 各部分面积的 代数和! 例 2. 物理意义 从时刻 t = a 到时刻 t = b 所经过的路程 s. o x y 作直线运动的物体 定积分 表示以变速 定理 或 黎曼 德国数学家(1826–1866) 四、关于函数的可积性 且只有有限个间断点, 可积. 当函数 的定积分存在时, 可积. 黎曼可积, 充分条件 解 例 用定义计算由抛物线 和x轴所围成的曲边梯形面积. 直线 取 对定积分的补充规定 说明 五、定积分的性质 假定定积分都存在, 不考虑积分上下限的大小. 证 (可以推广到有限多个函数和的情况) 性质1 证 性质2 线性性质. 补充 例 (定积分对于积分区间具有可加性) 性质3 假设 的相对位置如何. 不论 证 性质4 性质5 如果在区间 则 性质5-推论1 证 如果在区间 则 于是 性质5 如果在区间 则 解 令 于是 比较积分值 和 的大小. 例 证 性质5-推论2 定积分的概念与性质 性质5 如果在区间 则 证 (此性质可用于估计积分值的大致范围) 性质6 分别是函数 最大值及最小值. 则 解 估计积分 例 解 估计积分 例 证 闭区间上连续函数介值定理: 性质7(定积分中值定理) 连续, 至少存在一点 积分中值公式 定理用途 注 性质7(定积分中值定理) 平均值公式 求连续变量的平均值? 如何去掉积分号来表示积分值. 积分中值公式的几何解释 曲边梯形的面积 ==矩形的面积 例 证 由积分中值定理: (a为常数) ) ( n a n - + 3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用) 4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小. 六、小结 1. 定积分的实质: 特殊和式的极限. 2. 定积分的思想和方法: 以直代曲、以匀代变. 四步曲: 分割、 近似、 求和、 取极限. 思想 方法 * *
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