[2018年最新整理]2013年上海高一数学自招专题第7讲：函数的性质与函数方程(教师).doc

2013年上海高一数学自招专题第7讲 ：函数的性质与函数方程 补充 几个具体函数的图象与性质 1．二次函数 2．一次有理分函数 3． （对钩函数） 4． 5．（三次函数） 函数图象 1．作法 描点法 叠加法 利用函数的性质 如： 利用图象变换 如： 2．的几何意义； 的几何意义． 如：求方程的实根的个数； 又如：已知的解集为，求． 若连续函数满足，则在内至少有一根． 三．函数性质 函数性质主要有：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、凸性等． 这里只介绍后三个性质的一些一般性结论． 1.周期性 若 则为周期； 若（或）则为周期； ，则为周期； ，则 ，则 2.对称性：（分自对称和双对称两类） 自对称 轴：若，则的图象关于对称． 中心：若，则的图象关于点对称． 双对称: 与的图象关于对称 与的图象关于点对称 3．凸性： 对任意，如果满足，称为下凸函数． 如果满足，称为上凸函数． 琴生（Tensen）不等式 设，是区间上的严格下凸函数，则对于任意的 ，有： 若为上凸，则不等式反向． 典型例题 设函数y=f(x)对一切实数x都满足：f(3+x)=f(3-x),且方程f(x)=0恰有六个不同的实数根，则这六个实根的和是 已知f(x)是定义域为，最小正周期为2，已知时，时，，则f(x)为 （ ） A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶 设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当时， ，则当时，f(x)的解析式是 设x,y是实数，且满足，则x+y= 设三个函数，第一个是，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数图像关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是 设函数f(x)对任意,满足，其中，问f(x)是不是周期函数？ 设x是正实数，则函数的最小值为 若，则的最大值为 函数的最小值为 求函数的最小值和最大值。 当时，求的值域。 已知函数f(x)定义在非负整数集上，且对于任意正整数x,都有f(x)=f(x-1)+f(x+1), 若f(0)=2016,求f(2016). 设函数f(x)对一切实数x满足：f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且f(0)=0,求证：f(x)=0的根在区间[-30,30]上至少有13个，且f(x)是以10为周期的周期函数。 求函数的最大值。 15． 设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.的图像关于直线对称，证明：. . 证明：由题意可知. ,∴ , ∴ 当时，. 又, ∴ , 综上可知，所给问题获证.. 它的对称轴方程为 由方程的两个根满足, 可得 且, ∴ ， 即 ， 而 故 . 16.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m0,求证： (1)pf()0; (2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解. 证明：(1) ,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m0,所以，pf()＜0. (2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r ①当p＜0时，由(1）知f()＜0 若r0,则f(0)0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解; 若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=0, 又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解. ②当p＜0时同理可证. 1