概率论第二章习题答案.doc

条件概率与统计独立性 1、解：自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则 ， 。 所以题中欲求的概率为 2、解：总场合数为23=8。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A的有利场合数为7，AB的有利场合为6，所以题中欲求的概率P（B|A）为 . 3、解：（1）M件产品中有m件废品，件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废品}，显然，则 ， 题中欲求的概率为 . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然，则 . 题中欲求的概率为 . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}= 4、解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。则 甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得 乙取球的情况共有四种，由全概率公式得 . 5、解：设B={两数之和大于10}，Ai={第一个数取到i}，。则， ; 。由全概率公式得欲求的概率为 . 6、解：设A1={从甲袋中取出2只白球}，A2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。则由全概率公式得 . 7、解：A1={从第一袋中取出一球是黑球}，……，Ai={从第一袋中取一球放入第二袋中，…，再从第袋中取一球放入第i袋中，最后从第i袋中取一球是黑球}，。则 . 一般设，则，得 . 由数学归纳法得 . 8、解：设A1={飞机第一部分中两弹}，A2={飞机第二部分中两弹}，A3={飞机第一部分中一弹}，A4={其它情况}，则 A3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分}， ， 设B={飞机被击落}，则 由全概率公式得 9、解：设Ai={第i回出正面}，记，则由题意利用全概率公式得 。 已知，依次令可得递推关系式 解得 当时利用等比数列求和公式得 （*） （1）若，则； （2）若，则当时，；当时，。 若，则 若，则不存在。 （3）若，则由（*）式可得 10、解：令分别表示第i次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得 ， ， . 这里有，又，所以，同理有，再由得。所以可得递推关系式为 ， 初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即，由递推关系式得 ， . 11、解：设An={家庭中有n个孩子}，n=0,1,2,…，B={家庭中有k个男孩}。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布得 由全概率公式得 （其中） 12、解：（1）设A={至少有一男孩}，B={至少有2个男孩}。，由得 , . （2）C={家中无女孩}={家中无小孩，或家中有n个小孩且都是男孩，n是任意正整数}，则 A1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且是男孩}，则 ，且， 所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为 . 13、解：设A={产品确为合格品}，B={检查后判为合格品}。已知，，求。由贝叶斯公式得 . 14、解：设分别为自250米，200米，150米处射击的事件，B为“命中目标”事件，则， ，求。间互不相容，B能且只能与中之一同时发生，由贝叶斯公式得 . 15、解：记事件“发AAAA”为A4，事件“发BBBB”为B4，事件“发CCCC”为C4，事件“收ABCA”为D，则为求，考虑到发AAAA，而收到ABCD，有两个字母被准确收到，另两个字母被误收，故。同理可求得 ，欲求的概率是，而事件间两两互不相容，又D能且只能与之一同时发生，由贝叶斯公式得欲求的概率为 . 16、证： （1） ， ∴与C独立。 （2） ∴AB与C独立。 （3） ， ∴与C独立。 17、证： ， 同理可证 , . 又有 ， 所以相互独立。 18、证：必要性。事件相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前连续m个集取的形式。当时， 。 设当时有 , 则当时 从而有下列2n式成立： , 其中取或。 充分性。设题中条件成立，则 ,