渐变折射率平面波导的导模场分布的确定.docx

第28卷第5 期2004年10 月江西师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF J IANGXI NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)Vol.28No.5Oct.2004文章编号 :1000 - 5862 (2004) 05 - 0391 - 03渐变折射率平面波导的导模场分布的确定付国兰1,桑明煌1,刘晓山1,刘三秋2(1. 江西师范大学物理与通信电子学院 ,江西 南昌 330027 ; 2. 南昌大学 理学院 ,江西 南昌330047)摘要:文中给出了求渐变折射率平板波导场分布的差分方程法,利用它可以很方便地得到TE模和TM模 的场分布. 并且给出了计算实例,从中可看出差分法是一种简单可行的方法.关键词:差分方程法;渐变折射率平板波导;场分布中图分类号:TN252文献标识码:A渐变折射率平面光波导在集成光学和光波导器件中显得日益重要. 现在已经有多种成熟的工艺过程, 特别是扩散、离子注入和离子交换技术[1],可使介质波导具有渐变折射率分布. 因此,人们对如何准确计算渐变折射率平面波导的性能的兴趣大增.例如,WKB近似法[2]、有限元法(FEM)[3]以及精确的ATMM(分析转移矩阵法)[2,4]都可用来分析渐变平面波导.WKB近似法具有分析简单的特点,而且能给出场的分布,但由WKB近似法给出的场分布在转折点处是发散的[2],而且它只对折射率缓慢变化时是有效的,当折射率变化很快时,WKB近似法是不准确的.有限元法计算复杂,工作量大.本文利用差分方程法[5](简称差分法)分析渐变折射率光波导,并举例计算了折射率为指数分布的平面波导的场分布,我们可看到由差分法得到的场分布在转折点处是连续的,由此可看出差分法是解决此类问题的一种简单而有效的方法.1理论分析考虑图1所示的任意渐变折射率平面波导,设衬底和覆盖层分别延伸到无 穷远,且导波层的宽度远大于它的厚度.在这种假设条件下,可认为平面波导中 的光场只在x方向上受到限制,并设平面波导的几何结构和折射率分布沿y方向不变,即折射率分布为n(x),相应的模场也只是坐标x的函数.于是可令 折射率分布为n222n2 ( x) =2 + ( n1 - n2) f ( x/ d)x≥0(1)n02x 0图 1 渐变折射率平面光波导其中n0和n2分别为波导覆盖层和衬底层的折射率,n1为波导表面折射率,f(x/d)为折射率变化函数,它的 取值范围为[0,1],d为扩散深度.图1中在xs之外场的分布为零,xt为转折点,且有n(xt)=β/k0,β为传播常数,k0=2π/λ为自由空间波数,λ为入射波的波长,在转折点xt以内,场呈振荡形式,在转折点外,场呈衰 减形式.对于TE模和TM模,一维波动方程分别为TE 模式:52 Ey ( x) / 5 x2 + [ k2 n2 ( x) - β2 ] E ( x) =0(2)0y2TM 模式:5(15Hy(x)β) + ( k2 -) H ( x) = 0(3)5 x n2 (x)5x0n2 (x)y52 Hy (x)15n2( x)5Hy(x)2 22化简(3)式可得5x2- ( n2 ( x)5x)5x+ [ k0n( x) - β ] Hy ( x) =0(4)收稿日期 :2004 - 02 -26基金项目:江西省自然科学基金资助项目(0212020).作者简介:付国兰(1978-),女,江西樟树市人,硕士,主要从事导波光学的研究.392江西师范大学学报(自然科学版)2004年当x≤0 时,(2)式和(4)式的解分别为Ey ( x) = Aexp ( p0 x) , Hy ( x) = B exp ( p0 x)(5)式中 , A , B 为待定系数 , p0 = (β2 - k2 n2 ) 1/ 2 . 由 ( 5) 式可得 : E ( 0) = A , E′( 0) = p A , H( 0) = B , H′( 0)=0 0yy0yyp0B. 当x≥0 时,对于(1)式所给得折射率,(4)式可改为52 Hy (x)( n2 - n2) f ′( x/ d) 5 H (x)12y2 2 ( )β25x2-n2 (x)5x+ [ k0 nx -] Hy ( x) =0(6)下面用差分方程来求解式(2)和式(6),选取合适的xs,使Ey (x≥xs)=0和Hy(x≥xs) =0,将区间[0,xs]分成厚度为h的l等份,各端点的坐标为xi=ih ,(i=0,1,2,l),也就是对连续信号进行离散,即取样,差分方程的标准是用差分代替导数,即一阶差分 : ( Ei - Ei - 1) / h