第五节 多元函数的极值.pptx

9.6多元函数的极值

的定义域为9.6.1多元函数的极值值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。对于该邻域内异于的任何点都有定义9.7设函数为的内点。的某邻域若存在使得则称函数在点有极大值称为函数点的极大值点；若对于该邻域内异于的任何点都有则称函数在点有极小值.称为函数点的极小值点。极大值、极小

如如函数在处无极值。如函数在处有极大值。函数在处有极小值。

9.6.1多元函数的极值定理9.8（必要条件）在点),(00yx处有极值，设函数在点),(00yx具有偏导数，且则●具有偏导数，有极值的必要则它在条件为在点如果三元函数

9.6.1多元函数的极值●仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，驻点极值点注意！均称为函数的驻点.例如点是函数的驻点，但不是极值点。●如何判定一个驻点是否为极值点？定理9.8（充分条件）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，在点设函数又令

9.6.1多元函数的极值则在处是否取得极值的条件如下：(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2)时没有极值；(3)时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论．

9.6.1多元函数的极值例9.37求的极值.解求驻点，令得三个驻点又在点处，所以不是极值;在点处，和所以在点和和处取得极大值

9.6.1多元函数的极值●求函数极值的一般步骤：（1）解方程组求出实数解，得驻点.（2）对于每一个驻点

9.6.1多元函数的极值●与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值●若函数在有界闭区域上连续，在上必能取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点也可能在的边界上。●假设有限个驻点，函数在内可微分且只有此时若函数在的内部取得最大值来求多元函数的最大值和最小值.则的内部，既可能在

9.6.1多元函数的极值极大值（极小值）.因此在上述假设下，求多元函数（最小值），则这个最大值（最小值）也是函数的最值的一般方法：边界上的最大值和最小值相互比较，为最大值，最小者即为最小值.●通常遇到的实际问题中，性质，的内部取得，点就是函数在内取得最大值(最小值)的点.而函数在内只有一个驻点，将函数在内的所有驻点处的函数值及在的其中最大者即如果根据实际问题的的最大值（最小值）一定在知道函数则该驻

9.6.1多元函数的极值解由例9.38求的最大值和最小值.

9.6.1多元函数的极值再此条件下求极值称无条件极值.●对自变量除了限制在定义域内,不再附加其它条件

9.6.1多元函数的极值

9.6.1多元函数的极值

9.6.2条件极值小王有200元钱，他决定用来购买两购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，问题的实质：求在条件达到最佳效果．8元，每盒磁带10元，设每张磁盘效果函数为设他计算机磁盘和录音磁带，种急需物品：实例：问他如何分配这200元以下的极值点．

9.6.2条件极值（1）可将条件极值转化为无条件极值如上例，从条件解出代入效用函数得化为无条件极值问题。条件极值：对自变量有附加条件的极值．

9.6.2条件极值（2）拉格朗日乘数法先寻求函数在条件下取得极值的必要条件。目标函数约束条件①②若函数①在点取得所求的极值，则假设与在点的某邻域内均具有一阶连续偏导数，且由隐函数定理可知：方程②确定一连续且具有连续导数的③

9.6.2条件极值函数代入①，得④于是函数①在点取得所求极值，相当于函数④在点处取得极值。所以⑤由②可得代入⑤，得

9.6.2条件极值⑥③和⑥就是函数①在条件②下在点取得极值的必要条件。设则若引入辅助函数⑦

9.6.2条件极值则⑦式中的点是的驻点。函数称为拉格朗日函数，参数称为拉格朗日乘子。拉格朗日乘数法要求函数),(yxfz=在条件0),(=yxj下的可能极值点，先作拉格朗日函数求出函数的驻点则点就是可能的条件极值点。●可推广到目标函数为三元、四元、n元的情形.

9.6.2条件极值解则而所求问题确实存在最大值,例9.40将正数12分成三个正数之和,使得为最大.解得唯一驻点故最大值为