正、余弦定理应用1.ppt

正、余弦定理综合应用(1) 新马高一数学备课组 * 问题1. 怎样测量一个底部不能到达的建筑物 的高度？ 如图，在北京故宫的 四个角上各矗立着一 座角楼，如何通过测 量，求得角楼的高度？ 有无别的方法 问题２:不过河对岸，怎样测量河宽？ 探讨:不过河对岸，如何测量和对岸两个不能到达的地方A , B间的距离？ 解：如图在适当地方选取两个测点C，D，使A，B，C，D在一个平面内，测得CD=a，∠ACB=α，∠ADC=β，∠BCD=θ，∠BDＡ=δ， 问题2:怎样测量地面上两个不能到达的地方A , B间的距离？ 在△BCD中，由正弦定理，得 即 在△ACD中，∠A=180°－(α+β+θ)，由正弦定理，得 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2=BC2+AC2－2BC·ACcosα， 把BC、AC代入上式即可求出AB。 你能总结出解决测量问题的一般思想过程吗？ 实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 数学模型的解 实际问题的解 实际问题应用模型 推理 演算 还原说明 用所学的知识解决下列几个问题： 1.某鱼船在航行中不幸遇险，发出求救信号， 我海军舰艇在Ａ处获悉后，立即测出该鱼船 在北偏东　，距离Ａ为10海里的Ｃ处，并测 得鱼船正沿东偏南 ,以９海里／时的速度向 某小岛Ｂ靠拢，我军舰艇立即以21海里／时 的速度前去营救试问舰艇应沿什么方向，用 多少时间能尽快赶上鱼船？ 角度问题 2.如图，在海滨某城市附近海面有一台风，据检测，台风中心位于城市A的东偏南60°方向，据城市300km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西45°方向移动。如果台风侵袭的范围为圆形区域，半径为120km，几小时后该城市开始受到台风的侵袭(精确到0.1h)？ P A Q 解：如图所示，设台风的中心x小时到达位置Q时，开始侵袭该城市，在△AQP中，依题意， 得AQ=120km，AP=300km，PQ=20x， ∠P=60°－45°=15°， ∠A=180°－15°－∠Q=165°－∠Q， 由正弦定理，得方程组： ① ② P A Q 由①得 所以∠Q≈40.3°(不合题意舍去)，∠Q=139.7° 因此∠A≈180°－15°－139.7°=25.3°， 代入②得 所以 答：大约9.9小时后，该城市开始 受到台风的侵袭。 P A Q 正、余弦定理应用问题的解题步骤 1.准确理解题意，分清已知与所求，准确 理解题中的有关术语,如仰角、俯角和方位角。 2.根据题意画出图形，目的是利用直观图进一 部分析题意，找到解题思路。 3.将求解问题归结到一个或几个三角形中， 运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型， 正确求解，最后作答。 练习1： 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a 海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，有BC=at，AC= at， 易得∠B=120°， 60 ° D B A C 由 得 因为0°∠CAB90°，所以∠CAB=30°. 故∠DAC=60°－30°=30°， 答：甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇。 如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km处和54km处，某时刻，检测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号， 在当时的气象条件下， 声波在水中的传播速 度是1.5km/s， 练习2： （1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P 的距离，并求x的值； （2）求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果 精确到0.01km)。 解：（1）依题意知 PA－PB=1.5×8=12(km)， PC－PB=1.5×20=30(km)， 因此 PB=(x－12) (km)，PC=(18+x) (km)， 在△PAB中，AB=20， 同理 在△PAC中 由于cos∠PAB=cos∠PAC， 即： 解得： ( km )