高中数学圆的方程典型例题总结归纳.doc
高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
例1求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
说明：此题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，假设将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5圆，求过点与圆相切的切线．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．上题假设点为(1,)呢?
类型三：弦长、弧问题
例9、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
类型四：直线与圆的位置关系.
例13圆上到直线的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．
类型五：圆与圆的位置关系
例15：圆和圆的公切线共有条。
类型六：圆中的对称问题
例17自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切
〔1〕求光线和反射光线所在的直线方程．
〔2〕光线自到切点所经过的路程．
说明：此题亦可把圆对称到轴下方，再求解．再比方圆关于某点\某直线的对称问题:
类型七：圆中的最值问题
例19(1)圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．
(2)圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑数形结合解决．
类型九：圆的综合应用
例25、圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值．
分析：设、两点的坐标为、，那么由，可得，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．
高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
例1求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，假设距离大于半径，那么点在圆外；假设距离等于半径，那么点在圆上；假设距离小于半径，那么点在圆内．
解法一：〔待定系数法〕
设圆的标准方程为．
∵圆心在上，故．∴圆的方程为．
又∵该圆过、两点．∴
解之得：，．所以所求圆的方程为．
解法二：〔直接求出圆心坐标和半径〕
因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即．
又知圆心在直线上，故圆心坐标为
∴半径．故所求圆的方程为．
又点到圆心的距离为．
∴点在圆外．
说明：此题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，假设将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5圆，求过点与圆相切的切线．
解：∵点不在圆上，∴切线的直线方程可设为
根据∴解得
所以即
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
此题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决〔也要注意漏解〕．还可以运用，求出切点坐标、的值来解决，此时没有漏解．
类型三：弦长、弧问题
例9、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为.
类型四：直线与圆的位置关系.
例13圆上到直线的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．
解法一：圆的圆心为，半径．
设圆心到直线的距离为，那么．
如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．
又．
∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．
∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，那么，
∴，即，或，也即
，或．
设圆的圆心到直线、的距离为、，那么
，．
∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：
设圆心到直线的距离为，那么．
∴圆到距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．
类型五：圆与圆的位置关系
例15：圆和圆的公切线