高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案.pdf

. 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数 y f (x) ，我们把方程 f ( x) 0 的实数根叫做函数 y f (x)的零点。 （2 ）方程 f (x ) 0 有实根 函数 y f (x ) 的图像与 x 轴有交点 函数 y f (x ) 有零点。因此判断一个 函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f (x ) 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法： 解方程 f (x ) 0 ，所得实数根就是 f (x) 的零点 （3 ）变号零点与不变号零点 ①若函数 f (x)在零点 x0 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x) 的变号零点。 ②若函数 f (x)在零点 x 0 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的不变号零点。 ③若函数 f (x)在区间 a ,b 上的图像是一条连续的曲线，则 f ( a) f (b) 0 是 f (x) 在区间 a ,b 内有零点的充分 不必要条件。 2、函数零点的判定 （1）零点存在性定理：如果函数 y f (x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的曲线，并且有 f ( a) f (b) 0 ， 那么，函数 y f (x ) 在区间 内有零点，即存在 ( , ) a,b x a b ，使得 f (x ) 0 ，这个 x 也就是方程 f (x) 0 的 0 0 0 根。 （2 ）函数 y f (x) 零点个数（或方程 f (x ) 0 实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数 y f ( x ) 的零点 f ( x) 0 的根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y f (x ) 的图象联系起来，并利用函数的性质 找出零点。 （3 ）零点个数确定 0 y f (x ) 有 2 个零点 f (x ) 0有两个不等实根； 0 y f (x ) 有 1 个零点 f (x ) 0有两个相等实根； 0 y f (x ) 无零点 f (x ) 0 无实根；对于二次函数在区间 a,b 上的零点个数，要结合图像进行确 定. 1、 二分法 （1）二分法的定义 :对于在区间 [ a ,b] 上连续不断且 f (a) f (b) 0 的函数 y f ( x) ,通过不断地把函数 y f (x ) 的零点所在的区间一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近零点 ,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法 ; （2 ）用二分法求方程的近似解的步骤 : ① 确定区间 [ a, b] ,验证 f (a ) f (b) 0 ,给定精确度 ; ②求区间 (a,b) 的中点 c ; .. . ③计算 f ( c) ; ( ⅰ)若 f (c ) 0 ,则 c 就是函数的零点 ; ( ⅱ) 若 f (a) f ( c) 0 ,则令 b c ( 此时零点 x0 (a,c) ); ( ⅲ ) 若 f (c) f (b) 0 ,则令 a c (此时零点 x0 (c,b) ); ④判断是否达到精确度 ,即 a b ,则得到零点近似值为 a