函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案.doc

函数与方程 【考纲说明】 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。 （2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。 ②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。 ③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。 2、函数零点的判定 （1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。 （2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数的零点的根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 （3）零点个数确定 有2个零点有两个不等实根； 有1个零点有两个相等实根； 无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定. 二分法 （1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤: ① 确定区间,验证,给定精确度; ②求区间的中点; ③计算; (ⅰ)若,则就是函数的零点; (ⅱ) 若,则令(此时零点); (ⅲ) 若,则令(此时零点); ④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步. 【经典例题】 【例1】（2012天津）函数在区间内的零点个数是 （ ） A、0 　B、1　　　C、2　　　D、 【答案】B 【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1. 解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确. 【例2】（2010天津）函数　f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 (　 　) A、(－2，－1)　　　 B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2) 【答案】B 【解析】∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－eq \f(5,2)0， f(0)＝20＋0＝10， ∴f(－1) f(0)0. ∴　f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)． 【例3】（2009山东）若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数= (且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意. 【例4】（2012辽宁）设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 （ ） A、5 B、6 C、7 【答案】B 【解析】因为当时，f(x)=x3. 所以当时，，， 当时，；当时，，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B 【例5】（2012湖北）函数在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A、4 B、5 C、6 D、7 【答案】C 【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx2=0，x2=kπ+ eq \l( \f(π,2)) ,k∈Z，又x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C． 【例6】（2011陕西）函数在内 （ ） A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点