2024-2025学年初中数学专项突破：将军饮马模型（原卷版）.pdf
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模型介绍
一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：
(一)、已知两个定点：
1、在一条直线m，求一点P,使PA+PB最小;
(1)点A、B在直线m两侧：
4
*
B
(2)点A、B在直线同侧:
A
*
*
B
A、N是关于直
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2024-2025学年初中数学专项真题练习：专题2-1 将军饮马等 8类常见最值问题（含解析）.pdf
专题2-1将军饮马等8类常见最值问题
01题型·解读
题型一两定一动型（线段和差最值问题）
题型二双动点最值问题（两次对称）
题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）
题型四垂线段最短
题型五相对运动平移型将军饮马
题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马
题型七化斜为直，斜大于直
题型八构造二次函数模型求最值
02满分·技巧
一、单动点问题
lPPAPB
【问题1】在直线上求一点，使＋最小
ABlPPAPBAB
问题解决：连接，与交点即为，两点之间线段最短＋最小值为
AA
P
ll
BB
lPPAPB
【问题2】在直线上求一点，使＋最小
BlB⇒PBPBPAPBPAPBAPB
问题解决：作关于的
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将军饮马模型（原卷版）-2023年中考数学几何模型重点突破训练.pdf
专题33将军饮马模型
内容导航：模型分析T典例分析T
模【型1】两点一线
1.如图，在直线/两侧各有一个定点，分别是点A、B,怎样在直线/上到一点P,使得PA+PB的值最小？
A
•B
思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小，即为AB的长度.
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专题13.11 最短路径（将军饮马）问题（题型分类专项练习）（教师版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.pdf
专题13.11最短路径（将军饮马）问题（题型分类专项练习）
【题型目录】
【题型1】两定一动型；【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【题型3】一定两动（垂线段最短）型；【题型4】两定两动型；
【题型5】一定两动（等线段）转化型.
一、选择题
【题型1】两定一动型；
12024··VABCABACACAC
．（安徽滁州一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，
AB
ECAB10VBEC18PAPBPAPB
连接，，的周长为．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（）
EF
A5B8C10D13
．．．．
223-24··VABCAC5BC
．（八年级上山东潍坊期中）如图，已知
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专题13.11 最短路径（将军饮马）问题（题型分类专项练习）（学生版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.pdf
专题13.11最短路径（将军饮马）问题（题型分类专项练习）
【题型目录】
【题型1】两定一动型；【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【题型3】一定两动（垂线段最短）型；【题型4】两定两动型；
【题型5】一定两动（等线段）转化型.
一、选择题
【题型1】两定一动型；
12024··VABCABACACAC
．（安徽滁州一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，
AB
ECAB10VBEC18PAPBPAPB
连接，，的周长为．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（）
EF
A5B8C10D13
．．．．
223-24··VABCAC5BC
．（八年级上山东潍坊期中）如图，已知
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初中数学专题将军饮马系列模型（几何最值模型）原卷版+解析版.docx
专题01将军饮马系列模型（几何最值模型）
专题目录
专题目录
TOC\o1-3\h\z\u模型解读 2
常见类型讲解 2
【“将军饮马”模型】 2
1、“两点一线”类型（5种情况） 2
2、“定点两线”类型（4种情况） 3
3、其他类型（三点三线） 5
【“将军遛马”模型】 5
【“将军过桥”模型（单桥/双桥）】 6
真题演练 8
【“将军饮马”问题专练】 8
【“将军遛马”和“将军过桥”问题专练】 10
巩固练习 10
压轴真题强化 12
模型解读
模型解读
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。如图所示，诗中将军在观望烽火之
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专题2.1 将军饮马模型（压轴题专项讲练）（苏科版）（原卷版）.pdf
专题2.1将军饮马模型
【典例1】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧
的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每
天走的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB＝，C′B＝，
∴AC+CB＝AC+CB′＝．
在△AC′B′，
∵AB′＜AC′+C′B′
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2024-2025学年初中数学专项突破：射影定理模型（原卷版）.pdf
a©
百m模型介绍
1.射影定理定义
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
2.如图在RtZ\A8C中，NA4c=90°,是斜边8C上的高，有射影定理如下:
2
@AD=BDDC；
回注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影
22
@AB=BDBC；AC=CD-BC.
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2024-2025学年初中数学专项突破：折叠变换模型（原卷版）.pdf
大招折叠变换模型
词H模型介绍
翻折变换折（叠问题）
0K翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.
02＞折叠的性质：折叠是一种对称变换，它于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等.
因3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找
到图形间的关系.
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求
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专题17 将军饮马模型解读与提分精练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）（北师大版2024）（原卷版）.docx
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专题17.将军饮马模型
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
TOC\o1-4\h\z\u 2
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动
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2024-2025学年初中数学专项突破：圆幂定理（原卷版）.pdf
大招
圆赛定理
D
模型探究
1.弦切角定理
（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.
2（）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的的圆心角的度数的一半.
如图所示，直线PT切圆。于点C,BC、AC为圆。的弦，则有
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将军饮马五大模型七类题型（解析版）-初中数学.pdf
将军饮马五大模型七类题型模（型梳理与题型分类讲解）
笫一部分【知识点归纳】
【理论依据】径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。
【方法原理】
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段
两端点的距离相等；4.垂线段最短.
【基本模型】
【模型一:商定交点型】如图1,直线，和，的异侧两点48,在直线/上求作一点P,使24+P8
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初中数学复习：将军饮马五大模型七类题型及答案.pdf
将军饮马五大模型七类题型模（型梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【理论依据】径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。
【方法原理】
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段
两端点的距离相等；4.垂线段最短.
【基本模型】
【模型一：两定交点型】如图1,直线1和1的异侧两点A.B,在直线1上求作一点P,使PA+PB最
图1
【模型二：两定一
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2025中考数学 将军饮马模型与逆等线模型（含解析）.pdf
几何压轴突破三几何最值问题之
将军饮马模型与逆等线模型
（2种模型讲解+14种题型汇总+专题训练+真题训练）
【题型汇总】
两定一动型
❷稣ggg
❷两定一动俩定动型热考
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专题06 将军饮马模型（原卷版）.pdf
专题06.将军饮马模型
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生
能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几
何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化
归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对
这类问题有比较清晰的认识。
将军饮马模型在上学期（北师大版七年级下册）已经涉及，但是由于缺乏计算工具（勾股定理），所以
只能是作出相关图形，很难进行相关最值的计算。
模型、将军饮马两定一动求线段和
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2024年中考数学复习-“将军饮马”模型最值问题讲义.docx
“将军饮马”模型最值问题讲义
“将军饮马”问题是指动点在直线上运动，线段和差的一类最值问题，往往通过对称进行等量代换，转化成两点之间的距离或点到直线的距离，或利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值。解决这类问题要用到两个基本知识点：“两点之间线段最短”和“垂线段最短”.
【类型一两定一动基本型】
1.同侧、异侧两线段之和最小
问题:在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.
做法:连接AB,与1交点即为P,PA+PB的最小值为AB.
问题:在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.
做法:作A关于1的对称点A,连AB,与1交点即为P,PA+PB的最小值为AB.
2.同侧、异侧两线