初中数学专题将军饮马系列模型（几何最值模型）原卷版+解析版.docx
专题01将军饮马系列模型（几何最值模型）
专题目录
专题目录
TOC\o1-3\h\z\u模型解读 2
常见类型讲解 2
【“将军饮马”模型】 2
1、“两点一线”类型（5种情况） 2
2、“定点两线”类型（4种情况） 3
3、其他类型（三点三线） 5
【“将军遛马”模型】 5
【“将军过桥”模型（单桥/双桥）】 6
真题演练 8
【“将军饮马”问题专练】 8
【“将军遛马”和“将军过桥”问题专练】 10
巩固练习 10
压轴真题强化 12
模型解读
模型解读
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
这个问题被称为“将军饮马”。“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在各类考试中大多以中高档、压轴题的形式出现。
“将军遛马”模型和“将军过桥”模型是“将军饮马”的姊妹篇，它是在“将军饮马”的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本章就“将军遛马”模型和“将军过桥”模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
常见类型讲解
常见类型讲解
【“将军饮马”模型】
1、“两点一线”类型（5种情况）
1）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
做法：连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+PB的最小。
2）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+PB的最小值为AB′。
3）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。
做法：连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB。
4）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使最大。
做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB′。
5）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。
做法：连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。的最小值为0。
2、“定点两线”类型（4种情况）
1）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。
做法：分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P，连接P′P，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。△PCD周长最小为P′P。
2）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。
做法：作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为P′C。
3）点P在∠AOB的外部，在OA上找到点C，使PC与C点到直线OB的距离之和最小。
做法：过点P作线段OB的垂线，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为线段PD的长。
4）点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。
做法：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。
3、其他类型（三点三线）
（三点三线求三角形周长最小值）点D、E、F分别为AB、AC、BC边上的动点，求△DEF周长的最小值。
做法：先将点D视为定点，利用“一点两线”模型作辅助线；当CD最小时，即CD⊥AB时的交点为D。△DEF周长的最小值为线段??′??′′的长度。
【“将军遛马”模型】
【问题描述】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
【模型转化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？
做法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=AN，将AM+BN转化为AN+NB．构造点A关于MN的对称点A，连接AB，可依次确定N、M位置，可得路线．
【“将军过桥”模型（单桥/双桥）】
【单桥模型】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A