2024-2025学年初中数学专项突破：圆幂定理（原卷版）.pdf
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大招
圆赛定理
D
模型探究
1.弦切角定理
（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.
2（）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的的圆心角的度数的一半.
如图所示，直线PT切圆。于点C,BC、AC为圆。的弦，则有
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2024-2025学年初中数学专项突破：射影定理模型（原卷版）.pdf
a©
百m模型介绍
1.射影定理定义
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
2.如图在RtZ\A8C中，NA4c=90°,是斜边8C上的高，有射影定理如下:
2
@AD=BDDC；
回注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影
22
@AB=BDBC；AC=CD-BC.
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圆幂定理【选讲】(教师版)-初中数学中考专项《几何模型密训营》专题突破.pdf
圆幂定理【选讲】
一、教学目标
了解圆幂定理，掌握利用相似证明圆幂定理的方法．
二、知识讲解
切线长定理回顾
（）切线长的概念
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（）切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【注意】圆幂定理是补充内容，除了本讲讲义的题目可以直接使用圆幂定理的内容证明，在其他地方如
果要用圆幂定理必须先证明定理内容．
1.相交弦定理
相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．
如图，弦和交于⊙内一点，则．
1
【证明】
如图，、为⊙的两条任意弦．相交于点，连接、
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圆幂定理【选讲】(学生版)-初中数学中考专项《几何模型密训营》专题突破.pdf
圆幂定理【选讲】
一、教学目标
了解圆幂定理，掌握利用相似证明圆幂定理的方法．
二、知识讲解
切线长定理回顾
（）切线长的概念
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（）切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【注意】圆幂定理是补充内容，除了本讲讲义的题目可以直接使用圆幂定理的内容证明，在其他地方如
果要用圆幂定理必须先证明定理内容．
1.相交弦定理
相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．
如图，弦和交于⊙内一点，则．
1
【证明】
如图，、为⊙的两条任意弦．相交于点，连接、
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初中数学专题圆幂定理模型原卷版+解析版.docx
专题24圆幂定理模型
专题目录
专题目录
TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、相交弦模型 1
2、双割线模型 2
3、切割线模型 2
4、弦切角模型 3
5、托勒密定理模型 3
真题演练 3
巩固练习 5
模型解读
模型解读
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、相交弦模型
在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：。
2、双割线模型
如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和
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圆幂定理与四点共圆-2024-2025学年初高中衔接数学说课稿[001].docx
圆幂定理与四点共圆-2024-2025学年初高中衔接数学说课稿
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
设计思路
本节课围绕圆幂定理与四点共圆的核心概念，结合初高中数学知识衔接的实际需求，以培养学生的几何直观和逻辑推理能力为目标。课程设计注重由浅入深，先通过实例引入圆幂定理的基本概念，让学生理解并掌握定理的内容及应用。随后，通过解析四点共圆的条件，引导学生探究圆幂定理在实际问题中的应用，最后通过典例分析，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
核心素养目标
1.逻辑推理：运用圆幂定理和四点共圆的性质，进行几何证明，发展逻辑推理能力。
2.数学抽象：在解决具体几何问题时，能够抽象出
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2024-2025学年初中数学专项突破：折叠变换模型（原卷版）.pdf
大招折叠变换模型
词H模型介绍
翻折变换折（叠问题）
0K翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.
02＞折叠的性质：折叠是一种对称变换，它于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等.
因3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找
到图形间的关系.
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求
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2024-2025学年初中数学专项突破：将军饮马模型（原卷版）.pdf
模型介绍
一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：
(一)、已知两个定点：
1、在一条直线m，求一点P,使PA+PB最小;
(1)点A、B在直线m两侧：
4
*
B
(2)点A、B在直线同侧:
A
*
*
B
A、N是关于直
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勾股定理（单元复习 6个知识点+10类题型突破）原卷版—2024-2025学年人教版八年级数学下册.pdf
勾股定理(6个知识点+10类题型突破)
01思维导图
知识点01勾股定理知识点04勾股数
知识点02勾股定理证明勾股定理知识点05勾股定理的应用
知识点03勾股定理逆定理知识点06平面展开图-最短路径问题
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专题17.7勾股定理的逆定理（精选精练）（分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练[含答案].pdf
专题17.7勾股定理的逆定理（精选精练）（分层练习）
本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础
70分，【培优拓展60分，【链接中考20分，合计150分.
第一部分：夯实基础
8,3,24,,
一、选择题（本大题共个小题每小题分共分每小题均有四个选项其中
只有一项符合题目要求）
24-25··
（八年级上广东茂名期中）
1．满足下列条件时，VABC不是直角三角形的是（）
A．ÐA=40°,ÐB=50°B．ÐA:ÐB:ÐC=3:4:5
C．AB=6,BC=8,AC=10D．AB:BC:AC=5:12:13
23-24··
（八年级下河南漯河期中）
2abc2ab=(a
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2024-2025学年沪教版八年级数学下册专项复习：数据的收集、整理、描述（5个知识点+8类题型突破）原卷版.pdf
数据的收集、整理、描述(5个知识点+8类题型)
01思维导图
知识点三组距、频数与频数分布表的
知识点一统调查1|概念
数据的收集、整理、描
述—知识点四频数分布直方图
知识点二数据的描述
知识点五频数分布折线图
02知识速记
知识点一统计调查
1.统计相关概念
总体：调查时，调查对象的全体叫做总体.
个体：组成总体的每一个调查对象叫做个体.
样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本.
样本容量：样本中个体的数量叫做样本容量(不单位).
2.调查的方法：全面调查和抽样调查
(1)全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查.
(2)抽样调查：从调查对象中抽取部分对象进行调查，然后根据调查的
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专题17.3勾股定理（专项练习）（培优练）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练[含答案].pdf
专题17.3勾股定理（专项练习）（培优练）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选
项，其中只有一项符合题目要求）
24-25··
（八年级上辽宁沈阳期中）
1．下列各组数据为勾股数的是（）
111
A94041B91620CD,,
．，，．，，．1,2,3．
345
24-25··
（九年级上江苏淮安期中）
2lABCBACl3
．如图，直线过等腰直角三角形顶点，、两点到直线的距离分别是和，
2
则AB的长是（）
A．5B．5C．11D．13
2023··
（河南南阳一模）
3VABCAB=BC=5ABxyBC∥x
．如图，在等腰中，，，点，分别在轴，轴上，且
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专题17.2勾股定理（专项练习）（基础练）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练[含答案].pdf
专题17.2勾股定理（专项练习）（基础练）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选
项，其中只有一项符合题目要求）
24-25··
（八年级上贵州期末）
1．下列各组数中，不是勾股数的是（）
A5812B304050C94041D6810
．，，．，，．，，．，，
24-25··
（八年级上江苏南京阶段练习）
25
．在平面直角坐标系中，到原点的距离为的点是（）
A．(2,3)B．(1,-4)C．(-3,4)D．(-1,6)
24-25··
（九年级上上海阶段练习）
3ABCBA60°A
．海面上有、、三个灯塔，已知灯塔位于灯塔的北偏西方向，与灯塔的距
5CA3
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专题06 正余弦定理的应用十一种考法（原卷版）-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）_1.docx
专题06正余弦定理的应用十一种考法
一、方法讲解
1.正弦定理的应用：
=1\*GB3①边化角，角化边
=2\*GB3②大边对大角大角对大边
=3\*GB3③合分比：
2.余弦定理的应用：
（1）a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；
cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；
cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)（2）内角和定理：
3.面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
4.三角形内角和定理：
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\
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专题03 平面向量奔驰定理与三角形四心问题七种考法（原卷版）-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）_1.docx
专题03平面向量奔驰定理与三角形四心问题七种考法
一、方法讲解
1.奔驰定理：----解决面积比例问题
，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故．
2.三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
3.常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．
为的内心．
（2）外心：为的外心．
（3）垂心：为的垂心．
（4）重心：为的重心．
4.三角形的四心与奔驰定理的关系
(1)O是△ABC的重心：.
(2)O是△ABC的垂心：.
(3)O是△ABC的内心：.
(4)O是△ABC的外心：
.
二、重难点例题及变式
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2025年中考数学几何解题方法复习-- 第8节 圆幂定理（含解析）.docx
第8节圆幂定理
一、知识梳理
相交弦定理：如图8-1所示，圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等,即PA·PB=PC·PD.
切割线定理：如图8-2所示，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即P
割线定理：如图8-3所示，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，即PA·PB=PD·PC.
【例1】如图8-4所示,AB是⊙O的弦,点P在AB上,AB=10cm,AP=4cm,OP=5cm,则⊙O的半径为().
A.5B.6
C.7D.8
解：如图8-5所示，设⊙O的半径为r.
由相交弦定理得AP·PB=(r+OP