均匀分布参数极大似然估计的结果 - 唐山学院.doc

均匀分布场合下参数的极大似然估计 郝玉芹 （唐山学院基础部 河北 唐山 063000 ） 摘要 针对不同区间上的均匀分布，应用次序统计量，给出了未知参数的极大似然估计，并讨论了估计量的无偏性. 关键词 均匀分布；次序统计量；极大似然估计 中图分类号 O212.1 文献标识码 A Maximum Likelihood Estimate of Parameter in Uniform Distribution Hao Yuqin （Tangshan College, Tangshan Hebei 063000 China） Abstract：For the uniform distributions on different intervals, maximum likelihood estimators of unknown parameters are presented by making use of ordinal statistics. unbiased estimation is also considered. Key words：uniform distribution, ordinal statistic, maximum likelihood estimate 1 引言 极大似然估计（Maximum Likelihood Estimate，简称MLE）是数理统计中最重要，应用最广泛的参数点估计方法．其思想始于Gauss的误差理论，在1821年由Gauss首先提出来，但并未获得广泛应用．R.A.Fisher在1912年对Gauss提出的MLE进行了理论探讨，将它作为一个一般的点估计方法提了出来而获得了大家的认同．以后许多统计学家探讨了MLE的性质，使这种估计方法得到了广泛的研究和应用． 在各种估计方法中，MLE相对地说比较优良，比如MLE的不变性（原则）．作为一种统计思想有其合理性，得到了人们的认可．尤其是在大样本场合下，MLE的优良性更为明显，有很好的结果，比如相合性与渐近正态性[1]等．但也有不足之处，MLE要求样本联合分布有参数形式，在分布未知而要估计均值和方差时就无能为力了．同时，在小样本场合下，还不能显现出它的优良性. 设总体服从均匀分布，（）是来自总体的一个样本，它们相互独立，与总体具有相同分布,为样本的取值. 记次序统计量为 = ， = ，总体分布函数记为，总体的概率密度函数记为，总体的数学期望为． 实际问题中，如计算机产生的随机数，正弦波的随机相位，候车时间和计算时“四舍五入”产生的舍入误差等实际问题通常都服从均匀分布，这显示了均匀分布的重要性．因此对未知参数进行恰当的估计显得尤为重要．本文讨论不同区间上均匀分布参数的极大似然估计，并讨论估计量的无偏性． 2 均匀分布参数的极大似然估计 2.1 具有唯一极大似然估计的情形 2.1.1 总体服从均匀分布的场合，简记为~ .（）是来自总体的一个样本，为样本的取值. 这时的密度函数为 = ，为待估参数（0），似然函数：==，无法由似然方程求的极大似然估计，根据极大似然估计的定义，使似然函数=取得最大值,由表达式可知，越小似然函数越大, 当为时似然函数取最大值，因此参数的极大似然估计量，且唯一. 定理1 的极大似然估计量是有偏估计. 证明 由最大（小）值分布[2]，得分布函数时为对求导数，得的概率密度函数 ，那么， ，因此 是的有偏估计，证毕. 推论1 是的无偏估计量. 证明 由定理1可知， . 估计量的无偏性是一种优良的性质.但是在一个具体问题中，无偏性的实际价值如何，还必须结合问题的具体情况去考察.为此，无偏性有很现实的意义. 2.1.2 总体服从均匀分布的场合，（）是来自总体的一个样本，为样本的取值. 这时的密度函数为 = ，为待估参数（0），似然函数： ===，无法由似然方程求的极大似然估计，根据极大似然估计的定义，那么当时使似然函数取得最大值的，因此的极大似然估计量，且唯一.是是有偏估计. 定理2 一般地，若总体服从均匀分布，，的极大似然估计量，且是的有偏估计. 证明 2.1.1是时的特例，2.1.2是时的特例，由2.1.2的推导可知，似然函数： =，那么当时使似然函数取得最大值的，因此的极大似然估计量，且唯一. ，因此 是的有偏估计， 证毕. 2.2 极大似然估计不唯一的情形 2.2.1 总体服从均匀分布的场合，（）是来自总体的一个样本，为样本的取值. 这时的密度函数为 = ， 0为待估参数. 似然函数：==，=，那么当时，似然函数取得最大值的上的每一点，因此参数的极大似然估计量= ，唯一.从均匀分布的场合，（）是来自总体的