第五章劳斯判据演示课件.ppt

本章主要内容 系统（运动）稳定性概念 (Stability) 熟练掌握Routh,Nyquist稳定判据 静态误差计算 (Static Error) 有关定义和计算 二阶动态系统的运动特征 (Second Order Dynamic System) 各类性能指标定义和二阶系统运动分析 第五章 线性定常连续系统分析 精选编制 5.1 控制系统的稳定性分析 控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的稳定； 控制系统的稳定性：输入是有界信号时，当t→∞时，其输出也是有界值； 线性系统的稳定性是系统自身的一种属性。 精选编制 5.1.1 系统稳定性的概念及条件 一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下，其输出也是有界的。 系统稳定的充分必要条件是系统特征根（极点）全部具有负实部。 解析方法 － 求解系统的特征方程 高阶系统求解困难 劳斯稳定判据 精选编制 5.1.2 劳斯(E. J. Routh)稳定判据 已知系统的特征方程式为： (1) 系统特征方程式的系数必须皆为正 — 必要条件； (2) 劳斯行列式第一列的系数全为正 — 充分条件； (3) 第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根的个数。 精选编制 劳斯行列式： 系统稳定的必要且充分条件是：在系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中第一列的系数全为正号。 劳斯稳定判据： 精选编制 例5.1 利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。 解： 它的特征方程式是： 特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件， 劳斯行列式： 劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。 实际上该系统的4个根为： 精选编制 例5.2 若一系统的特征方程为： 利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。 解： 列写劳斯行列式： 该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，系统不稳定。 系统的4个根为： 符号改变一次 → 符号改变一次 → 精选编制 几种特殊情况 （1）第一列有零值出现 用一很小的正数ε来代替这个零，并继续劳斯行列式的计算； 当得到完整的劳斯行列式后，令ε→0，检验第一列的符号变化次数； 若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可利用辅助方程求出； 若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不稳定根的个数。 精选编制 S5 1 2 1 S4 2 4 1 S3 0 0 S2 1 0 S1 0 0 S0 0 0 0 系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。 特征根（Matlab:c=[1 2 2 4 1 1];roots(c)) 例5.3 精选编制 例5.4 试判定该系统的稳定性，系统特征方程为： 解： 计算劳斯行列式如下： ε→0 首列整理为: 系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。 方程解为： 0 5/2 符号改变一次 → 符号改变一次 → 精选编制 （2）某行的系数都为零 l?表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根 大小相等，符号相反； l? 利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式 P（s），然后由 的系数代替零行，继续 劳斯行列式的计算； l?辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以 通过求解辅助方程求出那些对根。 精选编制 例5.5 试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为： 解： 计算劳斯行列式 辅助多项式： 0 0 求p(s)对s 的导数: 导数方程的系数代入s3 行。 8 96 精选编制 例5.6 可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根： 行列式第一列系数符号变化一次， 说明系统有一个正实部的根，系统不稳定。 辅助方程是系统特征方程的一个因子式。 精选编制 5.1.3