《西安交大复变函数课件1-2复数的几何表示》课件.ppt

第二节 复数的几何表示 一、复平面 二、复球面 三、小结与思考 * 一、复平面 1. 复平面的定义 * 2. 复数的模(或绝对值) 显然下列各式成立 * 3. 复数的辐角 说明 辐角不确定. * 辐角主值的定义: * 4. 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致. * 5. 复数和差的模的性质 * 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 欧拉介绍 6.复数的三角表示和指数表示 * 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为 * 指数表示式为 故三角表示式为 指数表示式为 * 例2 解 (三角式) (指数式) * 例4 证 * 两边同时开方得 * 例6 解 所以它的复数形式的参数方程为 * * 例8 求下列方程所表示的曲线: 解 * 化简后得 * 二、复球面 1. 南极、北极的定义 * 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作?. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大?的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 2. 复球面的定义 * 3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数?来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. * * 三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面. 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈． * 思考题 是否任意复数都有辐角? * 思考题答案 否. 它的模为零而辐角不确定. 放映结束，按Esc退出. * Leonhard Euler Born: 15 April 1707 in Basel, SwitzerlandDied: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia 欧拉资料 谢谢！