高等数学全部公式精要.ppt
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* * 特点: 重要结论： 连续的概念 （极值存在的必要条件） 1.积分公式 反对幂指三 三角函数代换. 奇偶函数在对称区间上的积分性质 二、旋转体的体积 求解步骤： 二阶线性常系数非齐次微分方程 求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤： * *
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特点:
重要结论：
连续的概念
（极值存在的必要条件）
1.积分公式
反对幂指三
三角函数代换.
奇偶函数在对称区间上的积分性质
二、旋转体的体积
求解步骤：
二阶线性常系数非齐次微分方程
求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤：
二阶线性常系数非齐次方程的特解形式
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* * 特点: 重要结论： 连续的概念 （极值存在的必要条件） 1.积分公式 反对幂指三 三角函数代换. 奇偶函数在对称区间上的积分性质 二、旋转体的体积 求解步骤： 二阶线性常系数非齐次微分方程 求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤： * * 2．常用凑微分式子
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
即 .
不定积分的分部积分法
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
分部积分法是乘积微分公式的逆运算.
一、分部积分公式
如，，，等.
例10.求
解：令，，
，，则
（一）简单根式代换
当被积函数含有
（1）时，令；
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函数极限有类似的性质。定理3收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性。极限与左、右极限的关系。P47的例题。
特点:1．重要极限P51,P54,
是自变量同一变化过程中的无穷小,定义.若则称?是比?高阶的无穷小,若若若若或设记作则称?是比?低阶的无穷小;则称?是?的同阶无穷小;则称?是关于?的k阶无穷小;则称?是?的等价无穷小,记作
010203定理(等价无穷小替换定理)常用等价无穷小:P58重要结论：
会判断函数在一点的连续性。间断点的分类。P61
（极值存在的必要条件）P155
导数P79
常数和基本初等函数的导数(P95)P95
微分与积分公式P188
2．常用凑微分式子
不定积分的分部积
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* 导数的基本公式与运算法则 基本初等函数的导数公式 (x? )? = ?x? -1 . (ax)? = ax lna . (ex)? = ex. (sin x)? = cos x. (cos x)? = - sin x. (tan x)? = sec2x . (cot x)? = - csc2x . (sec x)? = sec x tan x . (csc x)? = - csc x cot x . 另外还有反三角函数的导数公式： 定理2. 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， 在 x 处也可导， (u(x) ? v(x))? = u?(x) ? v ?(x); (u(x)v
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定义. 导数 * * 收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性。 函数极限有类似的性质。 极限与左、右极限的关系。 定理3 P47的例题。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 特点: 1．重要极限 P51,P54, Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2
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一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 三、小结 * 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 解 证 原结论成立． 解 不存在． 证 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 例 5 解 按定义可知： ３、偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 4、偏导数的几何意义 如图 几何意义: 纯偏导 混合偏导 定义：二阶
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经 济 数 学 下页 返回 上页 1.7 经济学中的常用函数 一、需求函数 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P的函数。记作 则 f 称为需求函数. 常见的需求函数： ( 其中 a,b,c,A 0 ) 幂函数： 例 1 设某商品的需求函数为 解 它表示价格为零时的 需求量为 b ，称为饱和需求量； 它表示价格为 无人愿意购买此商品. 二、供给函数 如果价格是决定供给量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P 的函数。记作 则 G称为供给函数. 一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：
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一、多元函数的概念 二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性 四、小结 思考题 思考题解答 不能. 例 取 但是 不存在. 原因为若取 练 习 题 练习题答案 不存在. 观察 观察 不存在. * （1）邻域 （2）区域 例如， 即为开集． 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 例如， 有界闭区域； 无界开区域． 例如， （3）聚点 ? 内点一定是聚点； 说明： ? 边界点可能是聚点； 例 (0,0)既是边界点也是聚点． ? 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如, 边界上的点都是聚点
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学姐偷懒直接从网上下了一份公式总结，然后按照咱们的考试要求改了一下，特别诡异的那些公式我都删掉了，剩下的都是可能会出现的，哪些必须记哪些可以记也都写在后面了，有的出题形式我也加在知识点后面了，可以做个参考。这上面的知识点不很全，但应付考试差不多了，上面没有的学霸们可以自己再看看书哈。重点关注黑体字！！！电子版已发各部长，可以找部长要。祝大家都能考个好成绩~
——魏亚杰
高等数学〔一〕上公式总结
第一章一元函数的极限与连续
1、一些初等函数公式：〔孩子们。没方法，背吧〕
〔一般用倍角公式就可以了，这个不好记〕
，
2、极限
常用极限：;;
两个重要极限
〔一定要记！！一定记得是x趋于0或者1/x
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学姐偷懒直接从下了一份公式总结，然后咱们的考试要求改了一下，诡异的那些公式我删掉了，剩下的都是可能会出现的，必须记哪些可以记都写在后面了，可以做个参考。的知识点不很全，但应付考试差不多了，的学霸们自己再看看书哈。关注！！都能考个好成绩~
孩子们没办法背吧）
（一般用倍角就可以了这个不好记），
2、极限
常用极限：;;
两个重要极限
（一定要！一定记得是趋于x趋于无穷才能用
极限运算法则（求极限必出，你得常用的，再用运算法则求要求的）存在准则：夹逼准则、单调有界数列必有极限可能用到夹逼准则还是记一下吧）
间断点：填空选择考概率很大！）第一类间断点（左右极限存在）
间断点（第一类的都是
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中值定理与导数的应用 一、曲线凹凸的定义 二、曲线凹凸的判定 三、曲线的拐点及其求法 四、小结 * 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 定义 定理1 例1 解 注意到, 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 方法1: 例2 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 方法2: 例3 解 注意: 例4 解 曲线的弯曲方向——凹凸性; 改变弯曲方向的点——拐点; 凹凸性的判定. 拐点的求法1, 2. 思考题 * *
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一阶微分方程求解 可分离变量的微分方程 齐次方程 二、伯努利方程 两类二阶微分方程的解法 二阶齐次 二阶非齐次 一、内容小结 空间直线 2.线面之间的相互关系 线与线的关系 面与线间的关系 3. 相关的几个问题 (2)点 (3) 点 一、 基本概念 1. 证明: 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 2) 一般式情况. 2. 曲面的切平面与法线 2) 显式情况. 3. 函数的最值问题 一、重积分计算的基本方法 极坐标系情形: 若积分区域为 (2) 计算步骤及注意事项 二、重积分的应用 一、曲线积分的计算法 第一类计算 2. 基本技巧 二、曲面积分的计算法 2. 基本技巧 当
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例1其中?为柱面闭域?的整个边界曲面的外侧.解利用Gauss公式,得原式=及平面z=0,z=3所围空间思考:若?为圆柱侧面(取外侧),如何计算?利用质心公式,注意用Gauss公式计算这里若?改为内侧,结果有何变化?例2其中?为锥面解取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧,?,?,?为法向量的方向角.所围区域为?,则利用Gauss公式计算积分作辅助面利用质心公式,注意思考:提示:介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.先二后一计算曲面积分作取上侧的辅助面例3设?为曲面取上侧,求解作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标在闭区域?上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例4其中?是整个?边
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二、几个初等函数麦克劳林公式一、泰勒公式建立三、泰勒公式应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算§5.3泰勒(Taylor)公式1第1页
特点:一、泰勒公式建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要处理问题怎样提升精度?怎样预计误差?x一次多项式2第2页
1.求n次近似多项式要求:故令则3第3页
2.余项预计令(称为余项),则有4第4页
5第5页
公式①称为n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶导数,时,有①其中②则当6第6页
公式③称为n阶泰勒公式佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项准确表示式时,泰勒公式可写为注意到③④*能够证实:④式成立7第7页
特例:
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′′2′2·牛顿—莱布尼兹：
(cosx)=−sinx(tanx)=secx(cotx)=−cscx
高等数学(上)集锦bb′
af(xdx)=F(x)a=Fb()−Fa()(F(x)=f(x))
·和差角：′′
(secx)=secx⋅tanx(cscx)=−cscx⋅cotx
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
xxxx11·定积分的两个常用：
cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ()′=ln()′=(log)′=(ln)′=