线性代数 矩阵及其运算.ppt

定理2.10 （Sylvester 公式） A是m?n矩阵，B是n?k矩阵，则 特别 定理2.11 A、B是m?n矩阵，则 证明 将A, B排成m?2n的矩阵 则有 由定理2.9有 综上，有 由定理2.7 例22 设A为n阶幂等矩阵，即 证明 证明 由 有 由定理2.10 有 另一方面 由定理2.11 有 故有 * 2 行阶梯形矩阵 定义2.11 一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是零行 如下面的阶梯形矩阵 行标准型 下面形式的矩阵称为行标准型 下面形式的矩阵称为标准型 3. 定理2.3 设A是一个m行n列矩阵，通过行初等变换可以把A化为如下行标准型 4 定理 矩阵A可经初等变换化为标准形: （1）. 已知 分别将A的第一、二行互换和将A的第一列的?2 倍加到第二列，求出相应的初等矩阵,并用矩阵 乘法将这两种变换表示出来。 解 交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵 左乘A： 将A的第一列的?2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵 右乘A： 2.5.2 初等矩阵 1. 初等矩阵的定义（定义2.12） 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 对应于三种行初等变换，可以得到三种行初等矩阵。 人们从大量的实际计算中发现：对经过一次初等变换等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵，此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。 对于n阶单位矩阵I，交换E的第 行 ，得到的初等矩阵记作： (2) 用非零数k乘以I的第 行，得到的初等矩阵记作 : (3) 将I的第 行的 倍加到第 行，得到的初等矩阵记作： (4) 同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵 2. 初等矩阵之间的关系 3. 可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵； 4. 初等矩阵与初等变换之间的关系； 1）. 先看下面的例题 1）行初等矩阵左乘矩阵 （3）. 列初等矩阵右乘矩阵 2）. 结论 定理2.4 A为矩阵,对A进行初等行变换等同于用相应的行初等矩阵左乘A，对A进列变换等同于用相应的列初等矩阵右乘A。 5. 矩阵等价 定义2.13 若矩阵A经过行（列）初等变换可化为B则称A与B行（列）等价。若矩阵A经过初等变换可化为B则称A与B等价 6. 初等矩阵可逆性 初等矩阵是可逆的，且有 7. 结论 定理2.6 可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；也可以表示为有限个列初等矩阵的积 。 证明：因为任意矩阵A，有行、列初等矩阵 使得 因A可逆，所以A的标准形中不可能有零行，从而 r=n, 即有 于是有 证毕 初等矩阵的逆还是初等矩阵，故A初等矩阵的积。 又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故A可以是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。 定理2.5 矩阵A 与B等价当且仅当存在可逆的P与Q，使得 PAQ=B. 特别地，矩阵A等价于A的标准形。 证明： 初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有限初等矩阵的积 8. ? 可逆矩阵的逆的求法 A可逆,则有行初等行矩阵 使得 则有 记 则有行初等矩阵 使得 上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单方法，举例如下： 例4 求A的逆矩阵 例5 求A的逆矩阵 解 §2.6 矩阵的秩 2.6.1 矩阵的秩的概念(Rank of a matrix) 1. 定义 在m?n矩阵A中，任取k行k列（k ? m，k ? n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。 2. 定义2.14 如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D，并且所有的r+1阶子式（如果有的话）全为零，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为 矩阵A的秩，记为R(A) = r，并规定零矩阵的秩等于零。 4. 由矩阵的秩的定义易得： （1）矩阵A的秩既不超过行数也不超过列数 （2）矩阵A的秩等于矩阵A的转置矩阵的秩。不为零的常 数k与矩阵A的积的秩等于矩阵 A 的秩。 （3）n阶矩阵A的秩等于n充要条件是A为可逆矩阵（满秩 矩阵）。 （4）若A有一个r阶子式不等于零，则r(A)大于 等于r;若 A所有一个r+1阶子式等于零， 则r(A) 小 于等于r。 例20 求下列矩阵的秩 解： A是一个阶梯型矩阵，容易看出，A中有一个三阶子式不为0，而所有的四阶子式全为0，故R(A)＝3。 对于B，