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§2.2 解析函数和调和函数 1、共轭调和函数 由复变函数的可微的充要条件，函数可微必须满足C-R条 件，即： 。而由C-R条件有： 显然有： 定义1(调和函数)：如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏 导数，并且满足： ，则称u(x,y)为区域D中的调和 函数。 称为Laplace方程。 定理1：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部 和虚部都是该区域上的调和函数。 * 若u(x,y),v(x,y)是任意选取的两个调和函数，则f(z)却不一定解析。 例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数，并求以它 为实部的解析函数。 解： 显然： ， u(x,y)为调和函数。 若以u(x,y)为实部，则函数解析必须满足C-R条件，所以： 由方程(1)解得： 将其带入到(2)中有： 解得： 最后可以将解析函数表示为： * 显然一个解析的复变函数的实部和虚部并不是独立的任意选 取的实函数，而是由C-R条件联系在一起的一对共轭实调和 函数。 定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部 和虚部为该区域上的共轭调和函数。 2、共轭调和函数的几何意义 在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f’(z)?0，并分 别取u(x,y),v(x,y)的等值线： 可以证明，两条曲线在交点处正交。 证明：若令两个曲线的交点为(x0,y0)，则： 实部函数和虚部函数的梯度场函数为： 所以，在交点处两个等值线的法向量为： 现在做两个向量的内积： 很显然，两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。