高一数学点直线平面之间的位置关系1.ppt

本章需解决的主要问题：能利用教材中的定理判定或证明线面的平行与垂直关系；能正确地作出各种角并能求得角的相应的三角函数值． 解决上述问题的关键是：贯彻转化与化归思想在立体几何中的应用，进一步培养空间想象能力及分析问题、解决问题的能力． 1．共点、共线、共面问题 　例1 正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线． 【证明】　如图，∵AA1∥CC1， ∴AA1、CC1确定一个平面A1C， 显然有A1C?平面A1C， 又∵A1C∩平面BC1D＝O， AC∩BD＝M， ∴点C1、O、M三点在平面A1C内，也在平面BC1D内，从而C1、O、M三点都在这两个平面的交线上，即C1、O、M三点共线． 【方法归纳】　证明线共点，点共线，线共面问题，主要是应用平面的基本性质，先证部分元素共点、共线、共面，再利用公理1,2,3证明其他元素也具有这个性质，关键是要熟悉三个公理的作用． 2．平行问题 例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 【解】　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD. 连接BD交AC于点O，连接OF， ∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM. 又AF?平面PMD，PM?平面PMD，∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. 【方法归纳】　在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反．相互关系如下： 3．垂直问题 例3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． 【证明】　(1)∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∠BAD＝60°，∴BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD. (2)连接PG，如图， ∵△PAD为正三角形，G为AD的中点， ∴PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G， PG?平面PGB，BG?平面PGB. ∴AD⊥平面PGB，∵PB?平面PGB， ∴AD⊥PB. (3)解：当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD. 证明：在△PBC中，EF∥PB， 又在菱形ABCD中，GB∥DE， 而FE?平面DEF，DE?平面DEF，FE∩DE＝E， ∴平面DEF∥平面PGB. 由(2)推知PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB， ∴平面PGB⊥平面ABCD. ∴平面DEF⊥平面ABCD. 【方法归纳】　直线和平面垂直，平面和平面垂直，既可从直线和平面、平面和平面所成的角为90°来论证，又可从已有的线线垂直，线面垂直关系来推理和论证．在解题过程中，要注意线线垂直、线面垂直和面面垂直的转化，如下： 4．空间角的求法 例4 如图，已知四棱锥V－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧面VAB是等边三角形，且平面VAB⊥平面ABCD，BD和AC交于O点． (1)求VO与平面VAB所成的角； (2)求二面角B－VA－C的正切值． 【解】　如图，在底面ABCD内作OH⊥AB于H，连结VH. ∵平面VAB⊥平面ABCD， ∴OH⊥平面VAB. 则∠OVH为VO与平面VAB所成的角． ∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OB. 又OH⊥AB，∴AB＝2BH. (2)在平面VAB内过H作HE⊥VA于E，连OE. 由(1)知，OH⊥面VAB， ∴OH⊥VA，OH∩HE＝H， ∴VA⊥面OHE，得OE⊥VA， ∴∠HEO是二面角B－VA－C的平面角． (1)找出这个角；(2)证明该角符合题意；(3)作出这个角所在的三角形，求出角．求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线角中找到答案． 【证明】　取CD的中点M，BE的中点N，连接MN，则MN∥BC. ∵A′N⊥BE，DA∥BC且E为AD的中点， ∴BE必与DC相交．∴A′N⊥平面BCDE. 又∵A′N?平面A′BE， ∴平面A′BE⊥平面BCDE. 【方法归纳】　处理折叠问题要注意折叠前后的“不变量”和“不变的位置关系”． * 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 *