6行列式按行（列）展开.doc

§6 行列式按行（列）展开 一、余子式与代数余子式 定义1.6 在行列式 中划去元素aij所在的第i行与第j列，剩下的(n-1)2个元素按原来的顺序构成的n-1级行列式 称为元素的余子式，记为.记 ， 称为元素的代数余子式. 由定义可知，与行列式中第i行、第j列的元素无关. 例如，在4阶行列式中 ,的代数余子式为 二、行列式的依行依列展开定理 引理 对于n阶行列式D，如果第行元素除外全部为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即 . 证 先证的情形.即 . 对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论. 定理1.3（依行依列展开定理） 行列式D等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 （i=１，２，…，n） 或 （j=１，２，…，n）. 证 . 行列式的依行依列展开定理的意义：可把高阶行列式化为较低阶行列式来计算. 例1.11 计算行列式 . 解 由定理3知 . 注意:直接利用依行依列展开定理并不能简化计算,应利用行列式的性质将行列式的某行(列)的元素尽可能多的化为0,然后依此行(列)展开. 例1.12 计算行列式 解 在第二行中保留,其余元化为0： 依第2行开展，得 例1.13 计算行列式 . 解 当或时，显然D=0，现假设且，由引理知 . 注：以上所用的方法称为加边法. 例1.14 证明范德蒙（Vandermonde）行列式 , 其中连乘积 是满足条件1≤ji≤n的所有因子的乘积. 证 用数学归纳法证明.当n=2时，有 , 结论成立.假设结论对n-1阶范德蒙行列式成立，下面证明对n阶范德蒙行列式结论也成立. 在Vn中，从第n行起，依次将前一行乘-x1加到后一行，得 按第1列展开，并分别提取公因子，得 上式右端的行列式是n-1阶范德蒙行列式，根据归纳假设得 , 所以 . 推论 行列式D中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 (i≠j) 或 (i≠j). 证 . 当i≠j时，因为与行列式中第j行的元素无关，将上式中的换成（k=1，2，…，n)，有 . 同理可证 (i≠j). 综上所述，即得代数余子式的重要性质： 或 例1.15 计算n阶行列式 . 解 易知，. 将按第1列展开 ， 即. 这个式子对任何n(n≥2)都成立，故有 注：以上所用的方法称为递推公式法. 湖南工业大学理学院教案 线性代数 19 编写者——线性代数课程组