行列式按行展开法.ppt

行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.

结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.0102思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？一、引言

例如把称为元素的代数余子式．在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.

No.1一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．No.2例如

即有01又02从而03下面再讨论一般情形.04分析05当位于第1行第1列时,

二、行列式按行（列）展开法则定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

同理可得

例

证明用数学归纳法例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2时(1)式成立.

假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：01按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有02

n?1阶范德蒙德行列式

1推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即2分析我们以3阶行列式为例.3把第1行的元素换成第2行的对应元素，则

定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即2综上所述，有3同理可得4

例计算行列式解

例设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求分析利用及

解