1.5-行列式按行(列)展开.ppt

上页 下页 铃 结束 返回 首页 §1.5 行列式按行(列)展开 行列式按行(列)展开 余子式与代数余子式 上页 下页 返回 首页 结束 铃 范德蒙德行列式 为了解决这个问题, 一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式的计 算要简便, 于是,自然地考虑用低阶行列式来 表示高阶行列式的问题. 本节我们要解决的问题 是: 如何把高阶行列式降为低阶行列式, 高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算. 引言 从而把 先学习余子式和代数余子式 的概念。 一、余子式和代数余子式 余子式与代数余子式： 定义1.3 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后。余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij。 a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44 例如，求4阶行列式中a32的余子式和代数余子式： a11 a21 a41 a13 a23 a43 a14 a24 a44 M32? ? A32?(-1)3+2M32 =-M32 下页 令Aij?(?1)i?jMij， Aij称为元素aij的代数余子式。 余子式和代数余子式 a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44 例如，求4阶行列式中a13的代数余子式： a21 a31 a41 a22 a32 a42 a24 a34 a44 M13? ? A13?(-1)1+3M13 =M13 下页 余子式与代数余子式： 定义1.3 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后。余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij。 令Aij?(?1)i?jMij， Aij称为元素aij的代数余子式。 练习 注意： 1.行列式某个元素的余子式和代数余子式只和 此元素的位置有关, 而与此元素的值无关. 2.行列式某个元素的余子式和代数余子式最多 相差一个正负号. 3. 行列式某个元素的余子式和代数余子式比 原行列式 低阶. D = aijAij 。 二、行列式按行(列)展开定理 一个 n 阶行列式, aij 外都为零, 子式的乘积, 引理 如果其中第i 行（列）所有元素除 那么这行列式等于 aij 与它的代数余 即 例如， 或 D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj (j=1,2,…,n). 行列式的值等于它的任一行(列)的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和, 即 D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin (i=1,2,…,n), 这个定理叫做行列式按行（列）展开定理 定理1.4 作用：将高阶行列式的计算转化为低阶行列式 的计算。 证明： 根据引理? 即得 D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin (i=1,2,…,n), 类似地可证： D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj (j=1,2,…,n). 由 还可得下述重要结论. 定理1.5　 对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 ai1Aj1+ ai2Aj2 + … + ainAjn = 0 , i ? j , 或　a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj = 0 , i ? j . 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的 定理1.4 例1．分别按第一行与第二列展开行列式 1 1 -2 0 1 3 -2 3 1 D = 解：按第一行展开： 1 3 3 1 1 -2 3 1 1 -2 1 3 下页 ?a11A11 ?a12A12 ?a13A13 D =1 ?(-1)1+1 +0 ?(-1)1+2 ?(-1)1+3 +(-2) =1?(-8)+0+(-2)?5 =-18。 按第二列展开： 1 -2 3 1 1 -2 -2 1 1 1 -2 3 =0+1?(-3)+3?(-1)?5 =-3-15 =-18。 例1．分别按第一行与第二列展开行列式 1 1 -2 0 1 3 -2 3 1 D = 解：按第一行展开： 下页 ?a11A11 ?a12A12 ?a13A13 D =1?(-8)+0+(-2)?5 =-18。 ?(-1)3+2 +3 ?(-1)2+2 +1 ?(-1)1+2 =0 ?a12A12 ?a2